Найти построить кривую по её полярным координатам

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия (Полярные координаты)

Мы рассматриваем уравнение кривой в полярных координатах, которое задано как:

p = a \cdot (\sin \omega)^{1/2},

где:

• p — радиус-вектор (расстояние от начала координат до точки на кривой),
• \omega — полярный угол,
• a — параметр, определяющий масштаб кривой.

Шаги решения:

1. Понять форму уравнения
   Уравнение выражает зависимость радиуса p от угла \omega. Это означает, что для каждого значения угла \omega, мы можем вычислить радиус p и получить точку (p, \omega) в полярной системе координат.

2. Анализ области определения
   Функция (\sin \omega)^{1/2} определена только тогда, когда \sin \omega \geq 0.
   Поскольку \sin \omega \geq 0 на интервале [0, \pi], кривая будет существовать только в этой области.

3. Построение кривой
   Чтобы построить эту кривую, нужно:

   • Выбрать значения угла \omega в пределах [0, \pi] (например, с шагом \Delta \omega = \pi/20),
   • Вычислить радиус p для каждого угла с помощью формулы p = a \cdot (\sin \omega)^{1/2},
   • Перевести координаты (p, \omega) в декартовы координаты (x, y) с помощью формул:
      x = p \cdot \cos \omega, \quad y = p \cdot \sin \omega. 

4. Пример вычислений
   Пусть a = 1. Для нескольких значений \omega в пределах [0, \pi] вычислим p и получим точки:

   • Для \omega = 0: p = 1 \cdot (\sin 0)^{1/2} = 0, точка: (x, y) = (0, 0).
   • Для \omega = \pi/6: p = 1 \cdot (\sin (\pi/6))^{1/2} = (\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}, точка:
     x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\pi/6), \, y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\pi/6).
   • Для \omega = \pi/2: p = 1 \cdot (\sin (\pi/2))^{1/2} = 1, точка: (x, y) = (0, 1).

5. Аналогично, можно вычислить для других углов.

6. График
   Построим график, используя программное обеспечение (например, Python, MATLAB или вручную на бумаге). В результате получится кривая, симметричная относительно оси y, так как \sin \omega симметрична относительно \omega = \pi/2.

Пример кода для построения графика (Python + Matplotlib):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметр a
a = 1

# Углы от 0 до pi
omega = np.linspace(0, np.pi, 500)

# Радиус p
p = a * np.sqrt(np.sin(omega))

# Преобразование в декартовы координаты
x = p * np.cos(omega)
y = p * np.sin(omega)

# Построение графика
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, label=r"$p = a \cdot (\sin \omega)^{1/2}$")
plt.title("Кривая в полярных координатах")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid()
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.show()

Вывод:

Кривая будет выглядеть как "полу-лепесток", расположенный в верхней полуплоскости (y \geq 0), так как \sin \omega \geq 0 только на интервале [0, \pi].