Найти площадь треугольника

Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Даны вершины треугольника ( A(-1, 1) ), ( B(7, 4) ), ( C(4, 5) ).
Необходимо выполнить следующие пункты:

а) Найти уравнения всех трех сторон треугольника

Уравнение прямой, проходящей через две точки ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)), имеет вид: (y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1).

1. Сторона ( AB ): точки ( A(-1, 1) ) и ( B(7, 4) ):

\text{Коэффициент угла наклона: } k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{7 - (-1)} = \frac{3}{8}.
Подставляем в уравнение прямой: y - 1 = \frac{3}{8}(x - (-1)) \implies y - 1 = \frac{3}{8}(x + 1).
Приводим к общему виду: 8(y - 1) = 3(x + 1) \implies 8y - 8 = 3x + 3 \implies 3x - 8y + 11 = 0.

2. Сторона ( BC ): точки ( B(7, 4) ) и ( C(4, 5) ):

\text{Коэффициент угла наклона: } k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 4}{4 - 7} = -\frac{1}{3}.
Подставляем в уравнение прямой: y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 7).
Приводим к общему виду: 3(y - 4) = -(x - 7) \implies 3y - 12 = -x + 7 \implies x + 3y - 19 = 0.

3. Сторона ( AC ): точки ( A(-1, 1) ) и ( C(4, 5) ):

\text{Коэффициент угла наклона: } k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{4 - (-1)} = \frac{4}{5}.
Подставляем в уравнение прямой: y - 1 = \frac{4}{5}(x - (-1)) \implies y - 1 = \frac{4}{5}(x + 1).
Приводим к общему виду: 5(y - 1) = 4(x + 1) \implies 5y - 5 = 4x + 4 \implies 4x - 5y + 9 = 0.

Ответ:

• Уравнение стороны ( AB: ) 3x - 8y + 11 = 0.
• Уравнение стороны ( BC: ) x + 3y - 19 = 0.
• Уравнение стороны ( AC: ) 4x - 5y + 9 = 0.

б) Найти систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику

Для этого определим неравенства для каждой стороны. Знак неравенства выбирается так, чтобы точки внутри треугольника удовлетворяли системе.

1. Сторона ( AB ):
   Подставляем координаты точки ( C(4, 5) ) в уравнение ( 3x - 8y + 11 = 0 ): 3(4) - 8(5) + 11 = 12 - 40 + 11 = -17.
   Знак отрицательный, значит, для точки внутри треугольника: 3x - 8y + 11 \leq 0.

2. Сторона ( BC ):
   Подставляем координаты точки ( A(-1, 1) ) в уравнение ( x + 3y - 19 = 0 ): (-1) + 3(1) - 19 = -1 + 3 - 19 = -17.
   Знак отрицательный, значит, для точки внутри треугольника: x + 3y - 19 \leq 0.

3. Сторона ( AC ):
   Подставляем координаты точки ( B(7, 4) ) в уравнение ( 4x - 5y + 9 = 0 ): 4(7) - 5(4) + 9 = 28 - 20 + 9 = 17.
   Знак положительный, значит, для точки внутри треугольника: 4x - 5y + 9 \geq 0.

Ответ:
Система неравенств:  \begin{cases} 3x - 8y + 11 \leq 0, \ x + 3y - 19 \leq 0, \ 4x - 5y + 9 \geq 0. \end{cases} 

в) Найти внутренний угол ( A ) треугольника

Косинус угла между двумя векторами ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ) вычисляется по формуле:
\cos\varphi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|},
где
\vec{AB} = (7 - (-1), 4 - 1) = (8, 3), \, \vec{AC} = (4 - (-1), 5 - 1) = (5, 4).

1. Скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ):
   \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 8 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 40 + 12 = 52.

2. Длины векторов ( |\vec{AB}| ) и ( |\vec{AC}| ):
   |\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73},
   |\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}.

3. Косинус угла ( A ):
   \cos\varphi = \frac{52}{\sqrt{73} \cdot \sqrt{41}} = \frac{52}{\sqrt{2993}}.

4. Угол ( A ) в градусах:
   \varphi = \arccos\left(\frac{52}{\sqrt{2993}}\right).

г) Найти длину высоты, проведенной из вершины ( A )

Высота ( h ), опущенная из точки ( A ) на сторону ( BC ), вычисляется по формуле:
h = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}},
где уравнение стороны ( BC: x + 3y - 19 = 0 ), ( A = 1, B = 3, C = -19 ), а точка ( A(-1, 1) ).

Подставляем значения:
h = \frac{|1 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 - 19|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|-1 + 3 - 19|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|-17|}{\sqrt{10}} = \frac{17}{\sqrt{10}} = \frac{17\sqrt{10}}{10}.

д) Найти площадь треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|.
Подставляем координаты ( A(-1, 1) ), ( B(7, 4) ), ( C(4, 5) ):
S = \frac{1}{2} \left| (-1)(4 - 5) + 7(5 - 1) + 4(1 - 4) \right| = \frac{1}{2} \left| (-1)(-1) + 7(4) + 4(-3) \right| = \frac{1}{2} \left| 1 + 28 - 12 \right| = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8.5.

Ответ: Площадь треугольника равна ( 8.5 ).