Найти площадь, ограниченную функцией и прямой, проходящей через точки

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и определённые интегралы

Нам нужно найти площадь, ограниченную функцией $f(x)=3x-0.5x$ и прямой, проходящей через точки $Q(6;0)$ и $R(-2;-24)$.

Шаг 1: Упростим функцию $f(x)$

Функция $f(x)$ задана как $f(x)=3x-0.5x$. Упростим её:
$f(x)=2.5x$.

Шаг 2: Уравнение прямой $RQ$

Прямая $RQ$ проходит через точки $Q(6;0)$ и $R(-2;-24)$. Чтобы найти её уравнение, используем формулу для наклона (коэффициента угла наклона):
$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,
где $(x_1,y_1)=(6,0)$ и $(x_2,y_2)=(-2,-24)$.

Подставим значения:
$k=\frac{-24-0}{-2-6}=\frac{-24}{-8}=3$.

Теперь запишем уравнение прямой в общем виде:
$y=kx+b$.

Подставим точку $Q(6;0)$ в это уравнение, чтобы найти $b$:
$0=3\cdot 6+b$,
$b=-18$.

Таким образом, уравнение прямой $RQ$:
$y=3x-18$.

Шаг 3: Найдём точки пересечения функций

Теперь найдём точки пересечения функции $f(x)=2.5x$ и прямой $y=3x-18$. Для этого приравняем их:
$2.5x=3x-18$.

Решим уравнение:
$2.5x-3x=-18$,
$-0.5x=-18$,
$x=36$.

Таким образом, точки пересечения:

1. При $x=36$, $y=2.5\cdot 36=90$. Точка: $(36;90)$.
2. Вторая точка пересечения — это точка $R(-2;-24)$, так как она уже лежит на обеих линиях.

Шаг 4: Площадь между функциями

Площадь между функцией и прямой можно вычислить, используя определённый интеграл. Формула:
$S={\int }_{x_1}^{x_2}|f_1(x)-f_2(x)|dx$,
где $f_1(x)=3x-18$ (прямая), $f_2(x)=2.5x$ (функция), а пределы интегрирования — $x_1=-2$ и $x_2=36$.

Подставим функции:
$S={\int }_{-2}^{36}|(3x-18)-(2.5x)|dx$.

Упростим подмодульное выражение:
$(3x-18)-(2.5x)=0.5x-18$.

Так как $0.5x-18$ остаётся отрицательным на всём промежутке $[-2;36]$, модуль меняет знак выражения, и мы получаем:
$S={\int }_{-2}^{36}-(0.5x-18)dx$,
$S={\int }_{-2}^{36}(-0.5x+18)dx$.

Шаг 5: Вычислим интеграл

Разделим интеграл на два:
$S={\int }_{-2}^{36}-0.5xdx+{\int }_{-2}^{36}18dx$.

1. Вычислим первый интеграл:
   $\int -0.5xdx=-0.5\cdot \frac{x^2}{2}=-\frac{x^2}{4}$.
   Подставим пределы:
   ${[-\frac{x^2}{4}]}_{-2}^{36}=-\frac{{36}^2}{4}+\frac{(-2{)}^2}{4}$,
   $=-\frac{1296}{4}+\frac{4}{4}=-324+1=-323$.

2. Вычислим второй интеграл:
   $\int 18dx=18x$.
   Подставим пределы:
   ${\left[18x\right]}_{-2}^{36}=18\cdot 36-18\cdot (-2)$,
   $=648+36=684$.

Теперь сложим результаты:
$S=-323+684=361$.

Ответ:

Площадь, ограниченная функцией $f(x)$ и прямой $RQ$, равна $361$ квадратных единиц.