Найти площадь, ограниченную функцией и прямой, проходящей через точки

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и определённые интегралы

Нам нужно найти площадь, ограниченную функцией f(x) = 3x - 0.5x и прямой, проходящей через точки Q(6; 0) и R(-2; -24).

Шаг 1: Упростим функцию f(x)

Функция f(x) задана как f(x) = 3x - 0.5x. Упростим её:
f(x) = 2.5x.

Шаг 2: Уравнение прямой RQ

Прямая RQ проходит через точки Q(6; 0) и R(-2; -24). Чтобы найти её уравнение, используем формулу для наклона (коэффициента угла наклона):
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},
где (x_1, y_1) = (6, 0) и (x_2, y_2) = (-2, -24).

Подставим значения:
k = \frac{-24 - 0}{-2 - 6} = \frac{-24}{-8} = 3.

Теперь запишем уравнение прямой в общем виде:
y = kx + b.

Подставим точку Q(6; 0) в это уравнение, чтобы найти b:
0 = 3 \cdot 6 + b,
b = -18.

Таким образом, уравнение прямой RQ:
y = 3x - 18.

Шаг 3: Найдём точки пересечения функций

Теперь найдём точки пересечения функции f(x) = 2.5x и прямой y = 3x - 18. Для этого приравняем их:
2.5x = 3x - 18.

Решим уравнение:
2.5x - 3x = -18,
-0.5x = -18,
x = 36.

Таким образом, точки пересечения:

1. При x = 36, y = 2.5 \cdot 36 = 90. Точка: (36; 90).
2. Вторая точка пересечения — это точка R(-2; -24), так как она уже лежит на обеих линиях.

Шаг 4: Площадь между функциями

Площадь между функцией и прямой можно вычислить, используя определённый интеграл. Формула:
S = \int_{x_1}^{x_2} \left| f_1(x) - f_2(x) \right| dx,
где f_1(x) = 3x - 18 (прямая), f_2(x) = 2.5x (функция), а пределы интегрирования — x_1 = -2 и x_2 = 36.

Подставим функции:
S = \int_{-2}^{36} \left| (3x - 18) - (2.5x) \right| dx.

Упростим подмодульное выражение:
(3x - 18) - (2.5x) = 0.5x - 18.

Так как 0.5x - 18 остаётся отрицательным на всём промежутке [-2; 36], модуль меняет знак выражения, и мы получаем:
S = \int_{-2}^{36} -(0.5x - 18) dx,
S = \int_{-2}^{36} (-0.5x + 18) dx.

Шаг 5: Вычислим интеграл

Разделим интеграл на два:
S = \int_{-2}^{36} -0.5x \, dx + \int_{-2}^{36} 18 \, dx.

1. Вычислим первый интеграл:
   \int -0.5x \, dx = -0.5 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^2}{4}.
   Подставим пределы:
   \left[ -\frac{x^2}{4} \right]_{-2}^{36} = -\frac{36^2}{4} + \frac{(-2)^2}{4},
   = -\frac{1296}{4} + \frac{4}{4} = -324 + 1 = -323.

2. Вычислим второй интеграл:
   \int 18 \, dx = 18x.
   Подставим пределы:
   \left[ 18x \right]_{-2}^{36} = 18 \cdot 36 - 18 \cdot (-2),
   = 648 + 36 = 684.

Теперь сложим результаты:
S = -323 + 684 = 361.

Ответ:

Площадь, ограниченная функцией f(x) и прямой RQ, равна 361 квадратных единиц.