Найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями

Определение предмета и раздела:

Данная задача относится к предмету математика. Конкретно затрагивается раздел аналитическая геометрия и интегральное исчисление, где вычисляется площадь фигуры, ограниченной кривыми в системе координат.

Пояснение:

Нам даны следующие линии в прямоугольной системе координат:

1. \ x = \arccos y \ — это кривая, которая связывает \ x \ и \ y \.
2. \ x = 0 \ — вертикальная прямая, которая соответствует оси \ y \.
3. \ y = 0 \ — горизонтальная прямая, которая соответствует оси \ x \.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы должны определить пределы интегрирования и вычислить интеграл.

Шаг 1: Определение зоны интегрирования

Кривая \ x = \arccos y \ задаёт зависимость между \ x \ и \ y \. Пределы для y ограничены от 0 до 1, так как арккосинус функции определён в этом диапазоне при значениях \ y \in [0, 1] \.

1. В точке \ x = \arccos y \ при \ y = 0 \: \[ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \]

   В этой точке \ x = \frac{\pi}{2} \.

2. При \ y = 1 \ : \[ \arccos(1) = 0 \]

   В этой точке \ x = 0 \.

Таким образом, фигура находится между осями \ x = 0 \, \ y = 0 \, и \ x = \arccos y \ для \ y \in [0, 1] \.

Шаг 2: Вычисление площади через интеграл

Для вычисления площади, используем интеграл по оси \ y \, поскольку зависимость \ x \ выражена через \ y \. Площадь фигуры будет равна: \[ S = \int_{0}^{1} \arccos y \, dy \]

Шаг 3: Решение интеграла

Решим интеграл: \[ \int \arccos y \, dy \]

Для этого применим метод интегрирования по частям. Пусть: \[ u = \arccos y, \, dv = dy \]

Тогда: \[ du = -\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}\,dy, \quad v = y \]

Применяем формулу интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

\[ \int \arccos y \, dy = y \arccos y - \int y \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \right) dy \]

Второй интеграл: \[ \int \frac{y}{\sqrt{1 - y^2}} \, dy = \sqrt{1 - y^2} \]

Таким образом, окончательное выражение для интеграла: \[ \int \arccos y \, dy = y \arccos y + \sqrt{1 - y^2} + C \]

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1: \[ S = \left[ y \arccos y + \sqrt{1 - y^2} \right]_0^1 \]

При \ y = 1 \: \[ 1 \cdot \arccos(1) + \sqrt{1 - 1^2} = 0 \]

При \ y = 0 \: \[ 0 \cdot \arccos(0) + \sqrt{1 - 0^2} = 1 \]

Итак: \[ S = \left( 0 - 1 \right) = 1 \]

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \ x = \arccos y \, \ x = 0 \ и \ y = 0 \, равна 1.