Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3, y=0, x=-2, x=2

Определим предмет и раздел предмета:

Данное задание относится к математике, а конкретно к разделу анализа, где изучается интегрирование и вычисление площадей под кривыми.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^3 \), \( y = 0 \), \( x = -2 \) и \( x = 2 \), используем определенный интеграл.

Площадь искомой фигуры можно найти, интегрируя функцию \( y = x^3 \) между пределами от \( x = -2 \) до \( x = 2 \) по оси \( x \) и учитывая, что функция ограничена сверху графиком \( y = x^3 \) и снизу осью \( y = 0 \).

Шаг 1: Запишем определенный интеграл для функции \( y = x^3 \).

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{2} x^3 \, dx \]

Шаг 2: Вычислим интеграл.

Начнем с нахождения неопределенного интеграла \( x^3 \).

\[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \]

Шаг 3: Найдем определенный интеграл от \( x = -2 \) до \( x = 2 \).

\[ \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{2} \]

Шаг 4: Подставим пределы интегрирования и произведем вычисления.

\[ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-2}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{(-2)^4}{4} \]

Вычислим каждое значение:

\[ \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]

\[ \frac{(-2)^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]

Поскольку функции \( x^3 \) – нечетная, площадь по частям будет складываться, поэтому проверим значение площади.

\[ 4 - 4 = 0 \]

Это означает что площади под кривой по разные стороны от оси Х равны и они взяты с разными знаками. Следует учесть модуль каждого полупериода и сложить \[ |4| +|4| = 8 \].

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^3 \), \( y = 0 \), \( x = -2 \) и \( x = 2 \), равна \( 8 \) квадратных единиц.