Найти: параметры гиперболы

Давайте разберемся с вашим заданием.

1. Определение предмета и раздела предмета

• Предмет: Математика (алгебра и геометрия).
• Раздел: Аналитическая геометрия (гипербола).

Уравнение, которое вы дали: \[ \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1 \] представляет собой уравнение гиперболы в каноническом виде.

2. Что нужно найти: "параметры гиперболы"

Найдём основные параметры гиперболы:

1. Полуоси гиперболы (\(a\), \(b\));
2. Фокусы (\(c\));
3. Экцентриситет (\(e\));
4. Асимптоты гиперболы.

3. Пошаговое решение

Шаг 1. Выделение ключевых параметров из уравнения

Уравнение гиперболы в стандартном виде:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. \]

Сравнивая это с вашим уравнением:

\[ \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1, \]

можно сразу определить:

• \(a^2 = 25 \implies a = \sqrt{25} = 5\),
• \(b^2 = 9 \implies b = \sqrt{9} = 3\).

Шаг 2. Определение фокального расстояния (\(c\))

Фокальное расстояние \(c\) связано с \(a\) и \(b\) следующим соотношением для гиперболы:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2}. \]

Подставляем значения \(a^2 = 25\) и \(b^2 = 9\):

\[ c = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}. \]

Фокусы находятся на расстоянии \(c\) от центра гиперболы вдоль оси \(x\), так как ось \(x\) — главная.

Шаг 3. Экцентриситет (\(e\))

Экцентриситет \(e\) определяется как:

\[ e = \frac{c}{a}. \]

Подставляем значения:

\[ e = \frac{\sqrt{34}}{5}. \]

Шаг 4. Уравнения асимптот гиперболы

Асимптоты гиперболы задаются уравнением:

\[ y = \pm \frac{b}{a}x. \]

Подставляем \(a = 5\) и \(b = 3\):

\[ y = \pm \frac{3}{5}x. \]

4. Ответ с параметрами

1. Полуоси: \(a = 5\), \(b = 3\);
2. Фокальное расстояние: \(c = \sqrt{34}\);
3. Экцентриситет: \(e = \frac{\sqrt{34}}{5}\);
4. Асимптоты: \(y = \pm \frac{3}{5}x\).

Я понял вашу задачу. Если есть какие-то уточнения, можете их сообщить, и я постараюсь все сделать правильно!