Найти отношение радиуса окружности omega к длине хорды EF, а потом возвести это отношение в квадрат

Данное задание относится к предмету математика, разделу геометрии, а именно к задачам на окружности и хорды.

Разбор задачи:

1. Дано:
   • Окружность \( \omega \) с центром \( O \).
   • Точки \( M \) и \( N \) — середины радиусов \( OA \) и \( OB \), соответственно.
   • Хорда \( EF \) проходит через точки \( M \) и \( N \), при этом, известно, что отношение длины хорды \( EF \) к отрезку \( MN \) равно 4: \( EF : MN = 4 \).
   Нам нужно найти отношение радиуса окружности \( \omega \) к длине хорды \( EF \), а потом возвести это отношение в квадрат.
2. Вспомним несколько фактов о хордах:
   • Точки \( M \) и \( N \) — середины радиусов. Это означает, что отрезки \( OM \) и \( ON \) равны половине радиуса окружности \( \omega \), то есть, \( OM = ON = \frac{R}{2} \), где \( R \) — радиус окружности.
   • Хорда \( EF \), по условию, проходит через точки \( M \) и \( N \), а длина хорды относится к длине отрезка \( MN \) как 4: \( EF : MN = 4 \).
   • Отрезок \( MN \) — это отрезок, соединяющий середины двух радиусов окружности, и он составит длину, пропорциональную радиусу окружности.
3. Найдем длину хорды.
   • Согласно условию, длины хорды \( EF \) в 4 раза больше, чем длина отрезка \( MN \). То есть, \( EF = 4 \cdot MN \).
4. Отношение радиуса к хорде:
   • Нам сказано найти отношение радиуса окружности \( R \) к длине хорды \( EF \). Запишем это отношение: \[\frac{R}{EF}.\]
   • Подставим \( EF = 4 \cdot MN \) в это выражение: \[\frac{R}{4 \cdot MN}.\]
   • Теперь нужно выразить отношение радиуса \( R \) к отрезку \( MN \), так как отрезки \( MN \) прямо пропорциональны радиусу (он находится между серединами радиусов): \[ MN = \frac{R}{2}, \] так как \( M \) и \( N \) — середины радиусов. Подставим это в уравнение: \[ \frac{R}{4 \cdot \frac{R}{2}} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}. \]
5. Возводим в квадрат:
   • Нам нужно найти квадрат этого отношения: \[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}. \]

Ответ:

Квадрат отношения радиуса окружности к длине хорды \(\ EF \) равен \(\ \frac{1}{4} \).