Найти острый угол между заданными прямыми

Это задача по аналитической геометрии, которая принадлежит разделу геометрии, связанному с уравнениями прямых на плоскости.

Задача: Найти острый угол между заданными прямыми:

1. \( 3x + 4y - 12 = 0 \)
2. \( 15x - 8y - 45 = 0 \)

Формула для нахождения угла между прямыми:

Если даны уравнения прямых в виде: \( A_1x + B_1y + C_1 = 0 \) и \( A_2x + B_2y + C_2 = 0 \), то угол \( \theta \) между этими прямыми может быть найден по формуле:

\[ \tan\theta = \left| \frac{A_1B_2 - A_2B_1}{A_1A_2 + B_1B_2} \right| \]

Где:

• \( A_1, B_1, C_1 \) — коэффициенты первой прямой,
• \( A_2, B_2, C_2 \) — коэффициенты второй прямой.

Шаг 1: Определим коэффициенты для обоих прямых.

Для первой прямой \( 3x + 4y - 12 = 0 \), коэффициенты:

• \( A_1 = 3 \),
• \( B_1 = 4 \),
• \( C_1 = -12 \).

Для второй прямой \( 15x - 8y - 45 = 0 \), коэффициенты:

• \( A_2 = 15 \),
• \( B_2 = -8 \),
• \( C_2 = -45 \).

Шаг 2: Подставим значения в формулу для тангенса угла.

Подставляем значения коэффициентов \( A_1 = 3 \), \( B_1 = 4 \), \( A_2 = 15 \), \( B_2 = -8 \) в формулу для \( \tan\theta \):

\[ \tan\theta = \left| \frac{3 \cdot (-8) - 15 \cdot 4}{3 \cdot 15 + 4 \cdot (-8)} \right| \]

Выполним вычисления:

\[ \tan\theta = \left| \frac{-24 - 60}{45 - 32} \right| = \left| \frac{-84}{13} \right| = \frac{84}{13} \]

Шаг 3: Найдём угол \( \theta \).

Теперь найдём арктангенс \( \theta \):

\[ \theta = \arctan\left( \frac{84}{13} \right) \]

Приблизительно:

\[ \theta \approx \arctan(6.46) \]

Используя калькулятор:

\[ \theta \approx 81.24^\circ \]

Шаг 4: Определим острый угол.

Острый угол между прямыми — это угол \( \theta \), если он меньше \( 90^\circ \), либо \( 90^\circ \) минус \( \theta \), если угол больше \( 90^\circ \).

Так как \( \theta \approx 81.24^\circ \), этот угол уже является острым.

Ответ:

Острый угол между прямыми \( 3x + 4y - 12 = 0 \) и \( 15x - 8y - 45 = 0 \) составляет приблизительно \( 81.24^\circ \).