Найти объём тела, ограниченного поверхностями x+y=1, x+y=4, x^2+4x+z^2=0

Шаг 1: Определение предмета и раздела

Задание связано с вычислением объема тела, ограниченного поверхностями. Это задача из математического анализа или аналитической геометрии, которая относится к интегрированию по областям в пространстве. Конкретно, здесь нужно найти объем тела с использованием множественного интегрирования.

Шаг 2: Понимание условий

Нам даны следующие ограничения:

1. \( x + y = 1 \)
2. \( x + y = 4 \)
3. \( x^2 + 4x + z^2 = 0 \)

3-е уравнение: Разберем его подробно.

\[\ x^2 + 4x + z^2 = 0 \]

Это квадратичное уравнение. Мы преобразуем его так:

\[(x^2 + 4x + 4) - 4 + z^2 = 0 \]\[ (x + 2)^2 + z^2 = 4 \]

Получилось уравнение окружности с центром в точке \( (-2, 0) \) и радиусом 2 в плоскости \( xz \). Таким образом, \( z \) зависит от \( x \) и ограничивает диапазон значений для \( z \) при каждом \( x \):

\[\ z = \pm\sqrt{4 - (x + 2)^2} \]

Проекции на плоскость \( xy \):

Теперь рассмотрим два ограничения для \( x \) и \( y \):

• \( x + y = 1 \) — это прямая, которая пересекает оси координат в точках \( (1, 0) \) и \( (0, 1) \).
• \( x + y = 4 \) — это другая прямая, проходящая через точки \( (4, 0) \) и \( (0, 4) \).

Эти две прямые образуют область в плоскости \( xy \) — параллелограмм, заключенный между прямыми \( x + y = 1 \) и \( x + y = 4 \).

Шаг 3: Постановка задачи

Теперь нам нужно найти объем тела. Заметим, что зависимости по оси \( z \) заданы квадратом и представляет собой вращенное тело (цилиндр с образом окружности). Задачу мы будем решать с помощью двойного интеграла по области в плоскости \( xy \).

Шаг 4: Пределы интегрирования

В плоскости \( xy \):

• \( x + y = 1 \) задает нижнюю границу (прямая слева).
• \( x + y = 4 \) задает верхнюю границу (прямая справа).

Выразим \( y \) через \( x \):

• Нижняя граница \( y = 1 - x \)
• Верхняя граница \( y = 4 - x \)

Шаг 5: Построение интеграла

Объем тела можно выразить через двойной интеграл:

\[\ V = 2 \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \sqrt{4 - (x + 2)^2} \, dy \, dx \]

Поскольку зависимости по \( y \) не влияют на \( z \), мы можем сфокусироваться на интегрировании по \( x \):

\[\ x_{min} = -2, \quad x_{max} = 0 \]

Теперь ставим двойной интеграл и решаем его.