Найти общее уравнение прямой, проходящей через эти точки

Предмет и раздел:

Предмет: математика. Раздел: аналитическая геометрия, уравнение прямой на плоскости.

Условие:

Даны две точки: \( A(1;2) \) и \( B(3;1) \). Необходимо найти общее уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Решение:

1. Общее уравнение прямой: Уравнение прямой в общем виде выглядит так: \[ Ax + By + C = 0 \] Для определения коэффициентов \( A \), \( B \), \( C \), воспользуемся координатами двух данных точек.
2. Вывод уравнения прямой: Формула для уравнения прямой, проходящей через две точки \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \), выглядит так: \[ (y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1) \] Подставляем координаты точек:
   • \( A(1; 2) \), \( B(3; 1) \),
   • \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 2 \),
   • \( x_2 = 3 \), \( y_2 = 1 \).
   Подставляем в формулу: \[ (y - 2)(3 - 1) = (x - 1)(1 - 2) \] Упрощаем: \[ (y - 2) \cdot 2 = (x - 1) \cdot (-1) \] \[ 2y - 4 = -x + 1 \] Переносим всё в одну сторону: \[ x + 2y - 5 = 0 \]
3. Ответ: Уравнение прямой: \( x + 2y - 5 = 0 \). Подходящий вариант ответа: а) \( x + 2y - 5 = 0 \).

Проверка:

Подставим координаты точек \( A(1;2) \) и \( B(3;1) \) в найденное уравнение \( x + 2y - 5 = 0 \):

• Для точки \( A(1;2) \): \[ 1 + 2 \cdot 2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 \]
• Для точки \( B(3;1) \): \[ 3 + 2 \cdot 1 - 5 = 3 + 2 - 5 = 0 \]

Обе точки удовлетворяют уравнению, значит, оно верное.

Итоговый ответ:

\( \mathbf{а)} \, x + 2y - 5 = 0 \).