Найти: общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС

Определение предмета и раздела:

Это задание из курса аналитической геометрии. Раздел — уравнение плоскости в пространстве.

Пояснение задачи:

Нам нужно найти общее уравнение плоскости, которое проходит через точку \(D(1,1,-2)\) и параллельна плоскости, образованной точками \(A(0,-3,2)\), \(B(1,2,-1)\) и \(C(1,-2,4)\). Чтобы это сделать, следует:

1. Найти векторное уравнение плоскости, проходящей через точки \(A\), \(B\) и \(C\).
2. Выразить нормальный вектор этой плоскости.
3. Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости \(ABC\), её нормальный вектор будет такой же.
4. Используя точку \(D\) и найденный вектор, записать уравнение искомой плоскости.

Шаг 1: Найдём нормальный вектор плоскости \(ABC\)

Для этого нужно вычислить два направляющих вектора плоскости \(ABC\), а затем найти их векторное произведение, которое и даст нормальный вектор.

Направляющие вектора:

1. Вектор \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0, 2 - (-3), -1 - 2) = (1, 5, -3) \]
2. Вектор \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 0, -2 - (-3), 4 - 2) = (1, 1, 2) \]

Найдём векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

Раскроем этот определитель:

\[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(5 \cdot 2 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 5 \cdot 1) \]

\[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(10 + 3) - \mathbf{j}(2 + 3) + \mathbf{k}(1 - 5) \]

\[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(13) - \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(-4) \]

\[ \overrightarrow{n} = (13, -5, -4) \]

Это и есть нормальный вектор плоскости \(ABC\).

Шаг 2: Уравнение плоскости, проходящей через точку \(D\)

Общее уравнение плоскости имеет вид:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

где \(A\), \(B\), \(C\) — компоненты нормального вектора плоскости, а \(x_0, y_0, z_0\) — координаты точки на плоскости. Наш нормальный вектор \( \overrightarrow{n} = (13, -5, -4) \), поэтому уравнение плоскости будет начинаться с:

\[ 13x - 5y - 4z + D = 0 \]

Теперь подставим координаты точки \( D(1, 1, -2)\) в это уравнение, чтобы найти свободный член \(D\).

\[ 13 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) + D = 0 \]

Выполним вычисления:

\[ 13 - 5 + 8 + D = 0 \]

\[ 16 + D = 0 \]

\[ D = -16 \]

Шаг 3: Общее уравнение плоскости

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку \(D\) и параллельной плоскости \(ABC\), имеет вид:

\[ 13x - 5y - 4z - 16 = 0 \]

Ответ:

\[ 13x - 5y - 4z - 16 = 0 \]

Уравнение искомой плоскости: