Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, и C

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Уравнение плоскости в пространстве

Задание:

Нам даны точки \( A(0, -3, 2) \), \( B(1, 2, -1) \), \( C(1, -2, 4) \), и \( D(1, 1, -2) \).

Наша задача:

1. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, и C.
2. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точку D и параллельной плоскости, найденной в пункте 1.

Шаг 1: Уравнение плоскости через точки A, B, и C

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки \( A(0, -3, 2) \), \( B(1, 2, -1) \), \( C(1, -2, 4) \), сначала вспомним, что общее уравнение плоскости имеет вид:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

Чтобы определить коэффициенты \( A \), \( B \), и \( C \), можно воспользоваться направляющими векторами, полученными из данных точек, а затем решить задачу на основании того, что векторное произведение направляющих векторов будет перпендикулярно плоскости.

Шаг 1.1: Найдём два направляющих вектора плоскости

Направляющий вектор \( \overrightarrow{AB} \) из точки \( A(0, -3, 2) \) в точку \( B(1, 2, -1) \) вычитается как:

\[ \overrightarrow{AB} = (1 - 0, 2 - (-3), -1 - 2) = (1, 5, -3) \]

Направляющий вектор \( \overrightarrow{AC} \) из точки \( A(0, -3, 2) \) в точку \( C(1, -2, 4) \) вычитается как:

\[ \overrightarrow{AC} = (1 - 0, -2 - (-3), 4 - 2) = (1, 1, 2) \]

Шаг 1.2: Найдём векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \)

Векторное произведение направляющих векторов будет перпендикулярно плоскости, и его координаты \( (A, B, C) \) дадут направление нормали к плоскости:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

Выполним вычисление этого определителя:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(5 \cdot 2 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 5 \cdot 1) \]

\[ = \mathbf{i}(10 + 3) - \mathbf{j}(2 + 3) + \mathbf{k}(1 - 5) \]

\[ = \mathbf{i}(13) - \mathbf{j}(5) + \mathbf{k}(-4) \]

Таким образом, вектор нормали \( \overrightarrow{n} = (13, -5, -4) \).

Шаг 1.3: Составим уравнение плоскости

Подставляем нормаль в уравнение плоскости:

\[ 13x - 5y - 4z + D = 0 \]

Теперь найдём \( D \), используя координаты любой из известных точек. Подставим точку \( A(0, -3, 2) \) в уравнение:

\[ 13 \cdot 0 - 5 \cdot (-3) - 4 \cdot 2 + D = 0 \]

\[ 0 + 15 - 8 + D = 0 \]

\[ D = -7 \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки \( A \), \( B \), и \( C \), имеет вид:

\[ 13x - 5y - 4z - 7 = 0 \]

Ответ на пункт 1:

Уравнение плоскости \( ABC \): \( 13x - 5y - 4z - 7 = 0 \).

---

Шаг 2: Уравнение плоскости через точку D, параллельной плоскости \( ABC \)

Если плоскость параллельна другой, то их нормальные вектора совпадают. Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через точку \( D(1, 1, -2) \) и параллельной плоскости \( 13x - 5y - 4z - 7 = 0 \), будет иметь вид:

\[ 13x - 5y - 4z + D' = 0 \]

Найдём \( D' \), подставив координаты точки \( D(1, 1, -2) \):

\[ 13 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) + D' = 0 \]

\[ 13 - 5 + 8 + D' = 0 \]

\[ D' = -16 \]

Таким образом, уравнение плоскости через точку \( D \), параллельной плоскости \( ABC \), имеет вид:

\[ 13x - 5y - 4z - 16 = 0 \]

Ответ на пункт 2:

Уравнение плоскости через точку \( D \), параллельной плоскости \( ABC \): \( 13x - 5y - 4z - 16 = 0 \).