Найти объем тетраэдра и его высоту, опущенную из вершины А4 на плоскость

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Геометрические тела в пространстве

Мы решаем задачу нахождения объема тетраэдра и высоты, опущенной из одной из его вершин на плоскость, образованную другими вершинами.

Шаг 1. Формула объема тетраэдра

Объем тетраэдра определяется по формуле:

 V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \end{vmatrix} \right| 

Здесь (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4) — координаты вершин тетраэдра. Подставим данные из условия.

Шаг 2. Координаты векторов

Вычислим координаты векторов, образующих грани тетраэдра:

1. \vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - 4, 4 - 1, -1 - (-1)) = (-3, 3, 0)
2. \vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (0 - 4, 1 - 1, 3 - (-1)) = (-4, 0, 4)
3. \vec{A_1A_4} = (x_4 - x_1, y_4 - y_1, z_4 - z_1) = (-2 - 4, 0 - 1, 0 - (-1)) = (-6, -1, 1)

Шаг 3. Определитель матрицы

Теперь составим матрицу из координат векторов:

 \begin{vmatrix} -3 & 3 & 0 \ -4 & 0 & 4 \ -6 & -1 & 1 \end{vmatrix} 

Вычислим определитель:

 \det = -3 \begin{vmatrix} 0 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -4 & 4 \ -6 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} -4 & 0 \ -6 & -1 \end{vmatrix} 

Рассчитаем каждый из миноров:

1. \begin{vmatrix} 0 & 4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = (0)(1) - (4)(-1) = 4
2. \begin{vmatrix} -4 & 4 \ -6 & 1 \end{vmatrix} = (-4)(1) - (4)(-6) = -4 + 24 = 20

Подставим значения в формулу:

 \det = -3(4) - 3(20) + 0 = -12 - 60 = -72 

Шаг 4. Объем тетраэдра

Теперь подставим определитель в формулу объема:

 V = \frac{1}{6} \left| -72 \right| = \frac{1}{6} \cdot 72 = 12 

Объем тетраэдра равен 12.

Шаг 5. Высота тетраэдра

Высота тетраэдра — это перпендикуляр, опущенный из вершины A_4 на плоскость A_1A_2A_3. Уравнение плоскости можно найти через векторное произведение.

1. Векторное произведение

Вычислим векторное произведение \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}:

 \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -3 & 3 & 0 \ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -3 & 0 \ -4 & 4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -3 & 3 \ -4 & 0 \end{vmatrix} 

Рассчитаем:

1. \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \end{vmatrix} = (3)(4) - (0)(0) = 12
2. \begin{vmatrix} -3 & 0 \ -4 & 4 \end{vmatrix} = (-3)(4) - (0)(-4) = -12
3. \begin{vmatrix} -3 & 3 \ -4 & 0 \end{vmatrix} = (-3)(0) - (-4)(3) = 12

Подставим:

 \vec{n} = \mathbf{i}(12) - \mathbf{j}(-12) + \mathbf{k}(12) = (12, 12, 12) 

2. Уравнение плоскости

Уравнение плоскости имеет вид:

 12(x - 4) + 12(y - 1) + 12(z + 1) = 0 

Упростим:

 12x - 48 + 12y - 12 + 12z + 12 = 0 

 12x + 12y + 12z - 48 = 0 

Разделим на 12:

 x + y + z - 4 = 0 

3. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки A_4(-2, 0, 0) до плоскости x + y + z - 4 = 0 вычисляется по формуле:

 d = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} 

Подставим a = 1, b = 1, c = 1, d = -4, (x_0, y_0, z_0) = (-2, 0, 0):

 d = \frac{|1 \cdot (-2) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-2 - 4|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} 

Высота тетраэдра равна 2\sqrt{3}.

Ответ:

1. Объем тетраэдра: 12.
2. Высота тетраэдра: 2\sqrt{3}.