Найти объем тела ограниченного поверхностями

Задание относится к предмету математики, а именно к разделу аналитическая геометрия и интегральное исчисление в трехмерном пространстве. Мы будем решать его с помощью тройного интеграла.

Постановка задачи

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

• Верхняя поверхность: \( z = 4 - x^2 - y^2 \)
• Нижняя поверхность: \( z = 0 \)

Этапы решения:

1. Определение формы тела. Поверхность \( z = 4 - x^2 - y^2 \) описывает параболоид, который "открыт" вниз и пересекает плоскость \( z = 0 \) в тех местах, где \( 4 - x^2 - y^2 = 0 \), что эквивалентно уравнению: \[ x^2 + y^2 = 4 \] Это окружность радиуса 2 в плоскости \( z = 0 \). Таким образом, тело ограничено сбоку окружностью \( x^2 + y^2 = 4 \), сверху параболоидом \( z = 4 - x^2 - y^2 \), и снизу плоскостью \( z = 0 \).
2. Переход к цилиндрическим координатам. Поскольку тело имеет осевую симметрию относительно оси \( z \), удобно использовать цилиндрические координаты. Напомним, что в цилиндрических координатах: \[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z \] где \( r \) — радиус, а \( \theta \) — угол. В этих координатах уравнение поверхности \( z = 4 - x^2 - y^2 \) становится: \[ z = 4 - r^2 \] так как \( x^2 + y^2 = r^2 \).
3. Запись объёма через тройной интеграл: В цилиндрических координатах формула объёма выглядит как: \[ V = \int_{z_{\text{ниж}}}^{z_{\text{верх}}} \int_{r_{\text{мин}}}^{r_{\text{макс}}} \int_{\theta_{\text{мин}}}^{\theta_{\text{макс}}} r \, dz \, dr \, d\theta \] Для нашего случая:
   • \( z_{\text{ниж}} = 0 \), \( z_{\text{верх}} = 4 - r^2 \)
   • \( r \) изменяется от 0 до 2 (радиус окружности пересечения параболоида с плоскостью \( z = 0 \), то есть \( x^2 + y^2 = 4 \))
   • \( \theta \) изменяется от 0 до \( 2\pi \) (окружность, полный угол).
   Значит, объём равен: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4 - r^2} r \, dz \, dr \, d\theta \]
4. Взятие интегралов. Сначала вычислим самый внутренний интеграл по \( z \). Поскольку \( z \) изменяется от 0 до \( 4 - r^2 \), получаем: \[ \int_0^{4 - r^2} r \, dz = r \cdot (4 - r^2) \] Теперь следующий интеграл по \( r \): \[ \int_0^2 r \cdot (4 - r^2) \, dr \] Раскроем скобки и интегрируем: \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr \] Теперь, посчитаем интегралы: \[ \int_0^2 4r \, dr = 4 \cdot \frac{r^2}{2} \Big|_0^2 = 4 \cdot 2 = 8 \] \[ \int_0^2 r^3 \, dr = \frac{r^4}{4} \Big|_0^2 = \frac{16}{4} = 4 \] Подставляем: \[ 8 - 4 = 4 \]
5. Интеграл по \( \theta \): Осталось посчитать внешний интеграл: \[ \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot (2\pi - 0) = 8\pi \]

Ответ:

Обобщённый вывод:

• Мы рассмотрели параболоид с уравнением \( z = 4 - x^2 - y^2 \), использовали цилиндрические координаты для вычисления объёма, что позволило сократить вычисления с тройным интегралом.

Объём тела, ограниченного данными поверхностями, равен \( 8\pi \).