Найти объем пирамидыA1 A2 A3 A4

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Геометрические фигуры в пространстве

Для нахождения объема пирамиды, заданной четырьмя вершинами, необходимо воспользоваться формулой для объема пирамиды через смешанное произведение векторов.

Объем пирамиды определяется как:

 V = \frac{1}{6} \cdot \left| \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) \right| 

где:

• \vec{A_1A_2}, \vec{A_1A_3}, \vec{A_1A_4} — векторы, проведенные из вершины A_1 к остальным вершинам пирамиды.
• (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) — векторное произведение векторов.
• \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) — смешанное произведение векторов.

Шаг 1. Найти координаты векторов

Вычислим координаты векторов:

\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)
\vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)
\vec{A_1A_4} = (x_4 - x_1, y_4 - y_1, z_4 - z_1)

Подставим координаты точек:

• A_1(2, -1, 3),
• A_2(3, 4, 3),
• A_3(1, -2, 5),
• A_4(4, -4, -6).

1. \vec{A_1A_2} = (3 - 2, 4 - (-1), 3 - 3) = (1, 5, 0),
2. \vec{A_1A_3} = (1 - 2, -2 - (-1), 5 - 3) = (-1, -1, 2),
3. \vec{A_1A_4} = (4 - 2, -4 - (-1), -6 - 3) = (2, -3, -9).

Шаг 2. Найти векторное произведение (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4})

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

 \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ u_x & u_y & u_z \ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} 

Подставим значения векторов \vec{A_1A_3} = (-1, -1, 2) и \vec{A_1A_4} = (2, -3, -9):

 \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -1 & -1 & 2 \ 2 & -3 & -9 \end{vmatrix} 

Раскроем определитель:

 \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \ -3 & -9 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 2 & -9 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 2 & -3 \end{vmatrix} 

Вычислим миноры:

1. \begin{vmatrix} -1 & 2 \ -3 & -9 \end{vmatrix} = (-1)(-9) - (2)(-3) = 9 + 6 = 15,
2. \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 2 & -9 \end{vmatrix} = (-1)(-9) - (2)(2) = 9 - 4 = 5,
3. \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 2 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) - (-1)(2) = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.

Подставим значения:

 \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} = 15\vec{i} - 5\vec{j} + 5\vec{k} = (15, -5, 5) .

Шаг 3. Найти смешанное произведение

Смешанное произведение трех векторов вычисляется как скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других:

 \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 

Подставим значения:

• \vec{A_1A_2} = (1, 5, 0),
• \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} = (15, -5, 5).

 \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) = (1)(15) + (5)(-5) + (0)(5) = 15 - 25 + 0 = -10 .

Шаг 4. Найти объем пирамиды

Объем пирамиды:

 V = \frac{1}{6} \cdot \left| \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) \right| = \frac{1}{6} \cdot \left| -10 \right| = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} .

Ответ:

Объем пирамиды равен \frac{5}{3}.