Найти объем пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точки

Предмет: Математика

Раздел предмета: Аналитическая геометрия

Задание 48: Нужно найти объем пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точки \( M_1(-6; -4; 2), M_2(3; -4; -4), M_3(-6; -2; 4) \).

Решение:

Шаг 1. Общее уравнение плоскости через три точки

Уравнение плоскости можно записать в виде: \[ A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0, \] где \((x_1, y_1, z_1)\) — координаты одной точки, а \(A, B, C\) — направляющие коэффициенты, найденные как определители разности векторов на плоскости.

Выбираем \(M_1(-6; -4; 2)\), \(M_2(3; -4; -4)\), \(M_3(-6; -2; 4)\).

1. Построим два вектора: \[ \vec{M_1M_2} = \vec{(3 + 6; -4 + 4; -4 - 2)} = (9; 0; -6), \] \[ \vec{M_1M_3} = \vec{(-6 + 6; -2 + 4; 4 - 2)} = (0; 2; 2). \]
2. Найдем векторное произведение \( \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3} \), чтобы определить нормальный вектор плоскости \((A, B, C)\): \[ \vec{i} \; \vec{j} \; \vec{k} \] \[ 9 \; 0 \; -6 \] \[ 0 \; 2 \; 2 \]

   Рассчитаем миноры:

   \[ A = \begin{vmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (0)(2) - (-6)(2) = 12, \]

   \[ B = -\begin{vmatrix} 9 & -6 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(18 - 0) = -18, \]

   \[ C = \begin{vmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (9)(2) - (0)(0) = 18. \]

Шаг 2. Уравнение плоскости

Подставляем точку \(M_1(-6; -4; 2)\) в уравнение: \[ 12(x + 6) - 18(y + 4) + 18(z - 2) = 0. \]

Раскрываем скобки: \[ 12x + 72 - 18y - 72 + 18z - 36 = 0, \] \[ 12x - 18y + 18z - 36 = 0, \]

или, сократив на 6: \[ 2x - 3y + 3z - 6 = 0. \]

Шаг 3. Найдем объем пирамиды

Объем пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и данной плоскостью, выражается формулой: \[ V = \frac{1}{6} | x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 |, \] где \((x_0, y_0, z_0)\) — точки пересечения плоскости с осями координат.

1. Подставляем в уравнение плоскости \(y = 0\), \(z = 0\): \[ 2x - 6 = 0 \implies x = 3. \] Точка на оси \(Ox: (3; 0; 0)\).
2. Подставляем \(x = 0\), \(z = 0\): \[ -3y - 6 = 0 \implies y = -2. \] Точка на оси \(Oy: (0; -2; 0)\).
3. Подставляем \(x = 0\), \(y = 0\): \[ 3z - 6 = 0 \implies z = 2. \] Точка на оси \(Oz: (0; 0; 2)\).

Объем пирамиды: \[ V = \frac{1}{6} |3 \cdot (-2) \cdot 2| = \frac{1}{6} | -12 | = \frac{12}{6} = 2. \]

Ответ: Объем пирамиды равен \(2\).

Нормальный вектор: \( (12; -18; 18) \).