Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области, заданной системой неравенств

Данное задание относится к предмету "Математика", разделу "Аналитическая геометрия и математический анализ".

Задача состоит в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции в заданной области. Функция: \( z = 1 + x + 2y \) Область задана системой неравенств:

1. \( x + y \leq 1 \)
2. \( x \geq 0 \)
3. \( y \geq 0 \)

Эти неравенства определяют область на координатной плоскости. Начнем с её анализа.

Построение Границы Области

1. Неравенство \( x + y \leq 1 \) задает прямую, при которой \( x + y = 1 \). Это прямая пересекает ось \( x \) в точке \( (1, 0) \) и ось \( y \) в точке \( (0, 1) \). Область находится ниже этой прямой (включительно).
2. Неравенство \( x \geq 0 \) говорит о том, что мы рассматриваем область справа от оси \( y \).
3. Неравенство \( y \geq 0 \) говорит о том, что мы рассматриваем область выше оси \( x \).

Таким образом, областью является треугольник с вершинами в точках \( (0,0) \), \( (1,0) \) и \( (0,1) \).

Поиск Экстремумов

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( z \), мы будем проверять значения функции \( z = 1 + x + 2y \) в вершинах треугольника и на его границах.

Значения функции в вершинах треугольника:

1. В точке \( (0, 0) \): \[ z = 1 + 0 + 0 \cdot 2 = 1 \]
2. В точке \( (1, 0) \): \[ z = 1 + 1 + 0 \cdot 2 = 2 \]
3. В точке \( (0, 1) \): \[ z = 1 + 0 + 2 \cdot 1 = 3 \]

Так как область ограниченная и выпуклая, можно предположить, что экстремумы могут быть только на границах. Однако мы уже проверили вершины треугольника, которые покрывают границы \( x = 0 \), \( y = 0 \), и \( x + y = 1 \).

Проверка на границах

Проверим \( x + y = 1 \). Пусть \( x = 1 - y \), \( z = 1 + (1 - y) + 2y \).

Эта функция линейна и принимает минимальное значение на \( y = 0 \) (обратимся к ранее найденным вершинам \( (1,0) \) и \( (0,1) \)):

• на \( y = 0 \), \( z = 2 \)
• на \( y = 1 \), \( z = 3 \)

Окончательные наибольшие и наименьшие значения функции

Наибольшее значение \( z = 3 \), достигается в точке \( (0, 1) \). Наименьшее значение \( z = 1 \), достигается в точке \( (0, 0) \).

Ответ:

• Наибольшее значение функции: 3 в точке \( (0, 1) \).
• Наименьшее значение функции: 1 в точке \( (0, 0) \).