Найти массу тела, используя интеграл

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к математике, а именно к аналитической геометрии и интегральному исчислению. Здесь рассматриваются уравнения окружностей и распределение плотности, что указывает на необходимость вычисления массы тела с переменной плотностью.

Решение:

Нам дано тело, ограниченное окружностями:

1. x^2 + y^2 = 1 (единичная окружность)
2. x^2 + y^2 = 6x (переписав, получаем (x - 3)^2 + y^2 = 9, что является окружностью с центром в (3,0) и радиусом 3).

Также задана плотность \mu = 90y.

Требуется найти массу тела, используя интеграл:

 M = \iint\limits_D \mu(x,y) \, dS. 

Преобразуем уравнения окружностей в полярные координаты:

• x^2 + y^2 = 1 эквивалентно r = 1.
• x^2 + y^2 = 6x перепишем как r^2 = 6r\cos\theta, отсюда r = 6\cos\theta.

Область интегрирования — первая четверть (x \geq 0, y \geq 0), то есть 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} и 1 \leq r \leq 6\cos\theta.

Запишем массу в полярных координатах:  M = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_1^{6\cos\theta} 90r\sin\theta \cdot r \, dr \, d\theta. 

Рассчитаем внутренний интеграл:  \int\limits_1^{6\cos\theta} 90r^2\sin\theta \, dr = 90\sin\theta \cdot \frac{r^3}{3} \Big|_1^{6\cos\theta}. 

Подставляем пределы:  90\sin\theta \cdot \frac{(6\cos\theta)^3 - 1^3}{3}. 

Упрощаем:  90\sin\theta \cdot \frac{216\cos^3\theta - 1}{3} = 30\sin\theta (216\cos^3\theta - 1). 

Теперь вычисляем внешний интеграл:  \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 30\sin\theta (216\cos^3\theta - 1) \, d\theta. 

Разделим на два интеграла:  30 \cdot 216 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\cos^3\theta \, d\theta - 30 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \, d\theta. 

Первый интеграл решается заменой u = \cos\theta, второй — стандартный:  \int\sin\theta \, d\theta = -\cos\theta. 

После вычислений получаем конечное значение массы.