Найти координаты вершин трапеции, точки M пересечения диагоналей и точки S пересечения боковых сторон

Предмет: Аналитическая геометрия

Задача: Найти координаты вершин трапеции, точки \(M\) пересечения диагоналей и точки \(S\) пересечения боковых сторон.

Требуется решить задачу при соотношении оснований \(AD : BC = k : m\), а также обозначить точку \( A \) началом координат и за базисные векторы взять \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AB}\). Далее проведем подробное рассмотрение решения задачи при \(k = 3\) и \(m = 1\).

1. Координаты вершин трапеции

\[ A (0, 0), \quad D (1, 0), \quad B (0, 1) \]

Теперь найдём координаты вершины \(C\). Из условия, длины оснований \(AD\) и \(BC\) относятся как \(k : m\), то есть:

\[ \frac{AD}{BC} = \frac{3}{1} \]

Пусть точка \(C\) имеет координаты \(C(x_C, 1)\), так как \( C \) лежит на прямой, параллельной \(AD\), и её высота такая же, как у точки \(B\) — это значение по оси \(y\) равно 1. Точка \(C\) лежит на параллельной оси \(AB\), соответственно её координаты по оси \(y\) те же, что и у \(B\): \(y = 1\). Каким образом количество пропорционально? Нам дано, что отношение длин оснований \(AD : BC = 3:1\), и следовательно:

\[ x_C - 0 = 3 \cdot (1 - x) \]