Найти координаты векторов, их длины, скалярное произведение, угол между векторами, векторное произведение и проверим компланарность векторов

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия в пространстве

Задание:

Найдём координаты векторов, их длины, скалярное произведение, угол между векторами, векторное произведение и проверим компланарность векторов для первой задачи.

Дано:

Вершины пирамиды:
A(−4;2;6), B(2;−3;0), C(−10;5;8), D(−5;2;−4).

Шаг 1: Найти координаты векторов

Координаты вектора вычисляются по формуле:
\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A).

Вектор \vec{AB}:

\vec{AB} = (2 - (-4); -3 - 2; 0 - 6) = (6; -5; -6).

Вектор \vec{AC}:

\vec{AC} = (-10 - (-4); 5 - 2; 8 - 6) = (-6; 3; 2).

Вектор \vec{AD}:

\vec{AD} = (-5 - (-4); 2 - 2; -4 - 6) = (-1; 0; -10).

Шаг 2: Найти длины векторов

Длина вектора вычисляется по формуле:
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Длина \vec{AB}:

|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + (-5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 25 + 36} = \sqrt{97}.

Длина \vec{AC}:

|\vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7.

Длина \vec{AD}:

|\vec{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 0 + 100} = \sqrt{101}.

Шаг 3: Вычислить скалярное произведение \vec{AC} и \vec{AD}

Формула скалярного произведения:
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b.

\vec{AC} \cdot \vec{AD} = (-6)(-1) + (3)(0) + (2)(-10) = 6 + 0 - 20 = -14.

Шаг 4: Найти угол между \vec{AB} и \vec{AC}

Формула для косинуса угла:
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}.

Скалярное произведение:
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (6)(-6) + (-5)(3) + (-6)(2) = -36 - 15 - 12 = -63.

Косинус угла:
\cos \theta = \frac{-63}{\sqrt{97} \cdot 7} = \frac{-63}{7\sqrt{97}} = \frac{-9}{\sqrt{97}}.

Шаг 5: Найти векторное произведение \vec{AC} на \vec{AD}

Формула векторного произведения:
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ x_a & y_a & z_a \ x_b & y_b & z_b \end{vmatrix}.

Подставим координаты:
\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -6 & 3 & 2 \ -1 & 0 & -10 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 0 & -10 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -6 & 2 \ -1 & -10 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -6 & 3 \ -1 & 0 \end{vmatrix}.

Вычислим:
\vec{AC} \times \vec{AD} = \vec{i} (3 \cdot -10 - 2 \cdot 0) - \vec{j}((-6)(-10) - (-1)(2)) + \vec{k}((-6)(0) - (-1)(3)).
\vec{AC} \times \vec{AD} = \vec{i}(-30) - \vec{j}(60 - (-2)) + \vec{k}(0 - (-3)).
\vec{AC} \times \vec{AD} = -30\vec{i} - 62\vec{j} + 3\vec{k}.

Шаг 6: Проверить компланарность векторов

Векторы не компланарны, если их смешанное произведение не равно нулю. Формула:
[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}).

Подставим:
[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = (6)(-30) + (-5)(-62) + (-6)(3).
[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = -180 + 310 - 18 = 112.

Так как смешанное произведение не равно нулю, векторы не компланарны.

Ответы:

а) Координаты:
\vec{AB} = (6; -5; -6), \vec{AC} = (-6; 3; 2), \vec{AD} = (-1; 0; -10).

б) Длины:
|\vec{AB}| = \sqrt{97}, |\vec{AC}| = 7, |\vec{AD}| = \sqrt{101}.

в) Скалярное произведение:
\vec{AC} \cdot \vec{AD} = -14.

г) Угол:
\cos \theta = \frac{-9}{\sqrt{97}}.

д) Векторное произведение:
\vec{AC} \times \vec{AD} = -30\vec{i} - 62\vec{j} + 3\vec{k}.

е) Векторы не компланарны.