Найти координаты центра тяжести однородного тела,ограниченного поверхностью с графиком

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление

Найдем координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью ( x = y^2 + z^2 ) и плоскостью ( x = 4 ).

Центр тяжести однородного тела определяется как точка с координатами:
 \bar{x} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{D} x \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{D} y \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{D} z \, dV, 
где ( V ) — объем тела, а ( D ) — область, ограниченная заданной поверхностью.

1. Определение области ( D ):

Поверхность ( x = y^2 + z^2 ) — это параболоид, открывающийся вдоль оси ( x ). Плоскость ( x = 4 ) ограничивает его сверху.

Для фиксированного ( x ) проекция области на плоскость ( yz ) — это круг радиуса ( r = \sqrt{x} ), где ( 0 \leq x \leq 4 ).

2. Объем тела ( V ):

Объем тела вычисляется как:
 V = \iiint\limits_{D} dV = \int\limits_{x=0}^{4} \int\limits_{y=-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} \int\limits_{z=-\sqrt{x-y^2}}^{\sqrt{x-y^2}} dz \, dy \, dx. 

В сферических координатах (( x = r^2, \, y = r \cos \varphi, \, z = r \sin \varphi )):
 V = \int\limits_{r=0}^{2} \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} \int\limits_{\theta=0}^{\pi} r^2 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta. 

Вычислим:
 V = \int\limits_{r=0}^{2} r^2 \, dr \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{\theta=0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta. 

• ( \int\limits_{r=0}^{2} r^2 \, dr = \frac{r^3}{3} \Big|_0^2 = \frac{8}{3} ),
• ( \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi ),
• ( \int\limits_{\theta=0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2 ).

Подставляем:
 V = \frac{8}{3} \cdot 2\pi \cdot 2 = \frac{32\pi}{3}. 

3. Координаты центра тяжести:

• Координата ( \bar{x} ):
   \bar{x} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{D} x \, dV. 

В сферических координатах:
 \bar{x} = \frac{1}{V} \int\limits_{r=0}^{2} \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} \int\limits_{\theta=0}^{\pi} r^4 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta. 

• ( \int\limits_{r=0}^{2} r^4 \, dr = \frac{r^5}{5} \Big|_0^2 = \frac{32}{5} ),
• Остальные интегралы аналогичны: ( \int\limits{\varphi=0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi ), ( \int\limits{\theta=0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2 ).

Подставляем:
 \bar{x} = \frac{1}{\frac{32\pi}{3}} \cdot \frac{32}{5} \cdot 2\pi \cdot 2 = \frac{4}{5}. 

• Координаты ( \bar{y} ) и ( \bar{z} ):
  Поскольку тело симметрично относительно оси ( x ):
   \bar{y} = \bar{z} = 0. 

Ответ:

Координаты центра тяжести:
 \left( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} \right) = \left( \frac{4}{5}, 0, 0 \right).