Найти координаты центра тяжести однородного тела

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление

Нам необходимо найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностью x = y^2 + z^2 и плоскостью x = 2.

Центр тяжести определяется как:
 \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint\limits_V x \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint\limits_V y \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint\limits_V z \, dV, 
где M — масса тела, а V — его объем.

Для однородного тела плотность \rho постоянна, поэтому масса выражается как:
 M = \rho \iiint\limits_V dV. 

1. Постановка задачи в цилиндрических координатах

Поверхность x = y^2 + z^2 в цилиндрических координатах принимает вид:
x = r^2,
где r^2 = y^2 + z^2.

Плоскость x = 2 ограничивает тело в направлении x.

Объем тела в цилиндрических координатах задается как:
 dV = r \, dr \, d\varphi \, dx, 
где r — радиус, \varphi — угол, x — высота.

Границы интегрирования:

• 0 \leq \varphi \leq 2\pi (полный оборот вокруг оси x),
• 0 \leq r \leq \sqrt{2} (радиус ограничен x = r^2 \leq 2),
• r^2 \leq x \leq 2 (высота ограничена поверхностью x = r^2 и плоскостью x = 2).

2. Вычисление массы тела

Масса:
 M = \rho \iiint\limits_V dV = \rho \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\sqrt{2}} \int\limits_{r^2}^2 r \, dx \, dr \, d\varphi. 

Сначала интегрируем по x:
 \int\limits_{r^2}^2 dx = \left[x\right]_{r^2}^2 = 2 - r^2. 

Подставляем:
 M = \rho \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\sqrt{2}} r (2 - r^2) \, dr \, d\varphi. 

Интегрируем по r:
 \int\limits_0^{\sqrt{2}} r (2 - r^2) \, dr = \int\limits_0^{\sqrt{2}} (2r - r^3) \, dr = \left[r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2}} = \left[2 - \frac{4}{4}\right] = 2 - 1 = 1. 

Подставляем:
 M = \rho \int\limits_0^{2\pi} 1 \, d\varphi = \rho \cdot 2\pi = 2\pi\rho. 

3. Вычисление координат центра тяжести

Координата \bar{x}:

 \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint\limits_V x \, dV = \frac{1}{2\pi\rho} \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\sqrt{2}} \int\limits_{r^2}^2 x r \, dx \, dr \, d\varphi. 

Интегрируем по x:
 \int\limits_{r^2}^2 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{r^2}^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{(r^2)^2}{2} = 2 - \frac{r^4}{2}. 

Подставляем:
 \bar{x} = \frac{1}{2\pi\rho} \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\sqrt{2}} r \left(2 - \frac{r^4}{2}\right) \, dr \, d\varphi. 

Интегрируем по r:
 \int\limits_0^{\sqrt{2}} r \left(2 - \frac{r^4}{2}\right) \, dr = \int\limits_0^{\sqrt{2}} (2r - \frac{r^5}{2}) \, dr = \left[r^2 - \frac{r^6}{12}\right]_0^{\sqrt{2}} = \left[2 - \frac{8}{12}\right] = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. 

Подставляем:
 \bar{x} = \frac{1}{2\pi\rho} \cdot 2\pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}. 

Координаты \bar{y} и \bar{z}:

Из симметрии тела относительно оси x:
 \bar{y} = 0, \quad \bar{z} = 0. 

Ответ:

Координаты центра тяжести:
 \bar{x} = \frac{4}{3}, \quad \bar{y} = 0, \quad \bar{z} = 0.