Найти координаты точки, симметричной данной точке относительно плоскости с заданным уравнением

Задание относится к предмету математика, а именно к разделу аналитической геометрии.

Необходимо найти координаты точки, симметричной данной точке относительно плоскости с заданным уравнением. Шаги для решения задачи:

1. Определите уравнение плоскости. В данном случае оно уже предоставлено: 2x + 3y + 4z - 113 = 0.
2. Найдите точку М0(x0, y0, z0), относительно которой нужно построить симметрию. Здесь она дана как М0(3, -3, 0).
3. Напишите параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M0 и перпендикулярной плоскости. В данном случае вектор нормали плоскости (коэффициенты при x, y и z в уравнении плоскости) является A(2, 3, 4). Тогда параметрическое уравнение прямой будет: x = x0 + At, y = y0 + Bt, z = z0 + Ct, где A, B, C — координаты вектора нормали, а t — параметр. Подставляем значения: x = 3 + 2t, y = -3 + 3t, z = 0 + 4t.
4. Найдите точку пересечения P1 этой прямой с плоскостью, подставив параметрические уравнения в уравнение плоскости: 2(3 + 2t) + 3(-3 + 3t) + 4(4t) - 113 = 0.
5. Решите уравнение относительно t, чтобы определить точку пересечения: 6 + 4t - 9 + 9t + 16t - 113 = 0, 29t - 106 = 0, t = 106 / 29.
6. Найти точку P1, подставив найденное значение t в параметрические уравнения прямой: x1 = 3 + 2(106/29) = 3 + 212/29 = 87 / 29, y1 = -3 + 3(106/29) = -3 + 318 / 29 = 55 / 29, z1 = 4(106/29) = 424 / 29.
7. Точка P будет находиться на том же расстоянии от плоскости, что и точка M0, но в противоположном направлении. Учитывая, что точка P1 лежит на плоскости, координаты точки P можно найти, удвоив расстояние между M0 и P1 и добавив это смещение к координатам M0: P(x) = x0 + 2(x1 - x0), P(y) = y0 + 2(y1 - y0), P(z) = z0 + 2(z1 - z0). Подставим значение точки P1: P(x) = 3 + 2(87/29 - 3) = 3 + 2(58/29) = 3 + 4 = 7, P(y) = -3 + 2(55/29 + 3) = -3 + 2(142/29) = -3 + 20/29 = 17/29 - 87 / 29 = -70 / 29, P(z) = 0 + 2(424/29) = 848/29.

Таким образом, координаты точки P: (7, -70/29, 848/29). В ответ введите координаты точки P, разделив их точкой с запятой без пробелов: 7;-70/29;848/29