Найти координаты точки С

Определение предмета и раздела:

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия (прямая на плоскости)

Условия:

• Даны точки \( A(2; 3) \) и \( B(-4; -1) \), через которые проходит прямая.
• Прямая пересекает ось \( Oy \) в точке \( C \).

Требуется найти координаты точки \( C \).

Решение:

1. Уравнение прямой через две точки

   Уравнение прямой на плоскости можно записать в виде:

   \[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

   где \( k \) — это угловой коэффициент прямой, а \( (x_1, y_1) \) — координаты одной из точек прямой (например, точки \( A \)).

2. Найдем угловой коэффициент \( k \)

   Угловой коэффициент \( k \) для прямой через две точки \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \) вычисляется по формуле:

   \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

   Подставляем координаты точек \( A(2; 3) \) и \( B(-4; -1) \):

   \[ k = \frac{-1 - 3}{-4 - 2} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3} \]

   Таким образом, угловой коэффициент \( k = \frac{2}{3} \).

3. Записываем уравнение прямой

   Теперь, подставив точку \( A(2; 3) \) и найденное значение \( k \) в уравнение прямой:

   \[ y - 3 = \frac{2}{3}(x - 2) \]

   Раскроем скобки:

   \[ y - 3 = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \]

   Теперь перенесем \( 3 \) в правую часть:

   \[ y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} + 3 \]

   Приводим к общему знаменателю:

   \[ y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} + \frac{9}{3} \]

   \[ y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \]

4. Находим точку пересечения прямой с осью \( Oy \)

   Чтобы найти точку пересечения прямой с осью \( Oy \), нужно подставить \( x = 0 \) в уравнение прямой (ведь все точки на оси \( Oy \) имеют координату \( x = 0 \)):

   \[ y = \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \]

   Следовательно, координаты точки \( C \), где прямая пересекает ось \( Oy \), равны \( C(0; \frac{5}{3}) \).

Ответ:

Координаты точки \( C \): \( \left(0; \frac{5}{3}\right) \).