Найти координаты точки Q, являющейся проекцией точки M

Эта задача относится к разделу аналитической геометрии предмета математика, в частности к теме прямой в пространстве.

Прямая задана каноническим уравнением: \[ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-5} = \frac{z-4}{1} \] Точка M(0) имеет координаты (4, -3, 3). Чтобы найти координаты точки Q, являющейся проекцией точки M(0) на данную прямую, выполним следующие шаги:

1. Напишем параметрические уравнения данной прямой, выразив переменные x, y, z через параметр t, используя данное каноническое уравнение прямой: \[ x = 1 + t \] \[ y = 2 - 5t \] \[ z = 4 + t \] где t — параметр прямой.
2. Т.к. точка Q лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять этим уравнениям для некоторого значения параметра t: \[ Q_x = 1 + t \] \[ Q_y = 2 - 5t \] \[ Q_z = 4 + t \]
3. Чтобы найти t, используем условие, что проекция точки M(0) на прямую образует с этой точкой перпендикуляр. Вектор, соединяющий точку M(0) с точкой Q, будет перпендикулярен направляющему вектору прямой, который имеет координаты (1, -5, 1). Обозначим этот вектор через AQ.
4. Напишем условие перпендикулярности в виде скалярного произведения векторов AQ и направляющего вектора прямой, т.е. их скалярное произведение должно быть равно нулю: \[ (Q_x - 4) \cdot 1 + (Q_y - (-3)) \cdot (-5) + (Q_z - 3) \cdot 1 = 0 \]
5. Подставим координаты точки Q из параметрических уравнений: \[ (1 + t - 4) \cdot 1 + (2 - 5t - (-3)) \cdot (-5) + (4 + t - 3) \cdot 1 = 0 \] \[ (t - 3) + (-5t + 5) \cdot (-5) + (t + 1) = 0 \] \[ t - 3 - 25t + 25 + t + 1 = 0 \] \[ -23t + 23 = 0 \] \[ -23t = -23 \] \[ t = 1 \]
6. Теперь, когда мы знаем значение параметра t, можем подставить его в параметрические уравнения прямой, чтобы найти координаты точки Q: \[ Q_x = 1 + 1 = 2 \] \[ Q_y = 2 - 5 \cdot 1 = -3 \] \[ Q_z = 4 + 1 = 5 \]

Таким образом, координаты точки Q, являющейся проекцией точки M на прямую, равны (2, -3, 5).

В ответ следует ввести координаты точки Q через запятую: 2,-3,5.