Задание относится к предмету "Аналитическая геометрия", раздел "Уравнения плоскостей". Нам нужно найти координаты точки пересечения плоскости с осью OZ, проходящей через три точки \( A(1, 2, 3) \), \( B(2, 1, 1) \), \( C(-1, -2, 1) \).
Шаг 1: Определение нормального вектора плоскости
Для начала найдем нормальный вектор плоскости. Для этого найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
\[\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - 2, 1 - 3) = (1, -1, -2),\]
\[\vec{AC} = C - A = (-1 - 1, -2 - 2, 1 - 3) = (-2, -4, -2).\]
Теперь найдем векторное произведение \( \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} \), которое и будет нормальным вектором:
\[\vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -2 & -4 & -2 \end{vmatrix} =
\mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}.\]
Вычеслим каждый определитель:
\[\mathbf{i} \cdot (-1 \cdot -2 - (-4) \cdot -2) = \mathbf{i} \cdot (2 - 8) = \mathbf{i} \cdot (-6),\] \[\mathbf{j} \cdot (1 \cdot -2 - (-2) \cdot -2) = \mathbf{j} \cdot (-2 - 4) = \mathbf{j} \cdot (-6),\]\[\mathbf{k} \cdot (1 \cdot -4 - (-1) \cdot -2) = \mathbf{k} \cdot (-4 - 2) = \mathbf{k} \cdot (-6).\]
Таким образом, вектор \( \vec{N} = (-6, -6, -6) \). Можно сократить этот вектор на -6, тогда нормальный вектор плоскости будет \( \vec{N} = (1, 1, 1) \).
Шаг 2: Уравнение плоскости
Теперь, когда у нас есть нормальный вектор \( \vec{N} = (1, 1, 1) \), можем записать уравнение плоскости в общем виде:
\[ x + y + z + D = 0. \]
Чтобы найти \( D \), подставим координаты какой-либо из точек, например, точки \( A(1, 2, 3) \):
\[ 1 + 2 + 3 + D = 0 \Rightarrow 6 + D = 0 \Rightarrow D = -6. \]
Таким образом, уравнение плоскости:
\[ x + y + z - 6 = 0. \]
Шаг 3: Точка пересечения с осью OZ
Точка пересечения с осью OZ имеет координаты \( (0, 0, z) \), так как на этой оси координаты \( x \) и \( y \) равны 0. Подставим \( x = 0 \) и \( y = 0 \) в уравнение плоскости:
\[ 0 + 0 + z - 6 = 0 \Rightarrow z = 6. \]
Таким образом, координаты точки пересечения с осью OZ: \( (0, 0, 6) \).
Шаг 4: Нахождение суммы координат
Сумма координат данной точки: \( 0 + 0 + 6 = 6 \).
Ответ: 6.