Найти координаты точки P, симметричной точке M_0 относительно этой прямой

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Симметрия точки относительно прямой

Нам дана точка M_0(-64, -3, -4) и прямая, заданная параметрическими уравнениями:

 \frac{x+3}{1} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z+2}{-1} = t. 

Нужно найти координаты точки P, симметричной точке M_0 относительно этой прямой.

Решение

1. Найдем уравнение прямой в параметрическом виде

   Введем параметр t и выразим координаты точек на прямой:

    x = -3 + t, \quad y = 2 - 3t, \quad z = -2 - t. 

2. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M_0 и перпендикулярной данной прямой

   Направляющий вектор прямой:
   \mathbf{d} = (1, -3, -1).

   Уравнение плоскости, содержащей точку M_0(-64, -3, -4) и перпендикулярной прямой:

    (x + 64) \cdot 1 + (y + 3) \cdot (-3) + (z + 4) \cdot (-1) = 0. 

   Упрощаем:

    (x + 64) - 3(y + 3) - (z + 4) = 0. 

    x - 3y - z + 64 - 9 - 4 = 0. 

    x - 3y - z + 51 = 0. 

3. Найдем точку пересечения прямой с плоскостью

   Подставим параметрические уравнения в уравнение плоскости:

    (-3 + t) - 3(2 - 3t) - (-2 - t) + 51 = 0. 

   Раскрываем скобки:

    -3 + t - 6 + 9t + 2 + t + 51 = 0. 

    11t + 44 = 0. 

    t = -4. 

   Подставляем t = -4 в уравнения прямой:

    x_1 = -3 + (-4) = -7. 

    y_1 = 2 - 3(-4) = 2 + 12 = 14. 

    z_1 = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2. 

   Получаем точку пересечения A(-7, 14, 2).

4. Найдем симметричную точку

   Формула симметрии относительно точки A:

    x_P = 2x_A - x_0, \quad y_P = 2y_A - y_0, \quad z_P = 2z_A - z_0. 

   Подставляем значения:

    x_P = 2(-7) - (-64) = -14 + 64 = 50. 

    y_P = 2(14) - (-3) = 28 + 3 = 31. 

    z_P = 2(2) - (-4) = 4 + 4 = 8. 

Ответ:

50, 31, 8