Найти координаты и модули векторов

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Геометрия в пространстве

Дано задание с координатами вершин пирамиды ( A_1, A_2, A_3, A_4 ). Рассмотрим вариант 1:
( A_1(-1; 2; 1), A_2(-2; 2; 5), A_3(-3; 3; 1), A_4(-1; 4; 3) ).

Требуется выполнить следующие действия:

1. Найти координаты и модули векторов ( \vec{A_1A_2} ) и ( \vec{A_1A_4} ).
2. Угол между рёбрами ( A_1A_2 ) и ( A_1A_4 ).
3. Площадь грани ( A_1A_2A_3 ).
4. Объём пирамиды.
5. Уравнение плоскости ( A_1A_2A_3 ).
6. Уравнение прямой ( A_1A_2 ).
7. Уравнение высоты и её длину, опущенной из вершины ( A_4 ) на грань ( A_1A_2A_3 ).
8. Построить чертёж.

Решение:

1. Координаты и модули векторов ( \vec{A_1A_2} ) и ( \vec{A_1A_4} ):

Координаты векторов:
[ \vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1) = (-2 - (-1); 2 - 2; 5 - 1) = (-1; 0; 4) ] [ \vec{A_1A_4} = (x_4 - x_1; y_4 - y_1; z_4 - z_1) = (-1 - (-1); 4 - 2; 3 - 1) = (0; 2; 2) ]

Модули векторов:
[ |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} ] [ |\vec{A_1A_4}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

Ответ:
Координаты векторов: ( \vec{A_1A_2} = (-1; 0; 4) ), ( \vec{A_1A_4} = (0; 2; 2) ).
Модули: ( |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{17} ), ( |\vec{A_1A_4}| = 2\sqrt{2} ).

2. Угол между рёбрами ( A_1A_2 ) и ( A_1A_4 ):

Формула для косинуса угла между векторами:
[ \cos \varphi = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}}{|\vec{A_1A_2}| \cdot |\vec{A_1A_4}|} ]

Скалярное произведение ( \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} ):
[ \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 0 + 0 + 8 = 8 ]

Подставляем в формулу:
[ \cos \varphi = \frac{8}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{34}} = \frac{4}{\sqrt{34}} ]

Угол:
[ \varphi = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right) ]

Ответ:
Угол между рёбрами ( A_1A_2 ) и ( A_1A_4 ):
[ \varphi = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right) ]

3. Площадь грани ( A_1A_2A_3 ):

Для нахождения площади треугольника используем формулу:
[ S = \frac{1}{2} |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| ]

Найдём ( \vec{A_1A_3} ):
[ \vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1; y_3 - y_1; z_3 - z_1) = (-3 - (-1); 3 - 2; 1 - 1) = (-2; 1; 0) ]

Векторное произведение ( \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} ):
[ \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & 0 & 4 \ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 1) - \mathbf{j} \cdot (-1 \cdot 0 - 4 \cdot (-2)) + \mathbf{k} \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) ]

[ = \mathbf{i} \cdot (-4) - \mathbf{j} \cdot (8) + \mathbf{k} \cdot (-1) = (-4; -8; -1) ]

Модуль векторного произведения:
[ |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9 ]

Площадь:
[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} ]

Ответ:
Площадь грани ( A_1A_2A_3 ): ( S = \frac{9}{2} ).

4. Объём пирамиды:

Объём пирамиды:
[ V = \frac{1}{6} \cdot \left| \vec{A_1A_2} \cdot \left( \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} \right) \right| ]

Найдём ( \vec{A_1A_4} ):
[ \vec{A_1A_4} = (0; 2; 2) ]

Векторное произведение ( \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} ):
[ \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j} \cdot (-2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k} \cdot (-2 \cdot 2 - 1 \cdot 0) ]

[ = \mathbf{i} \cdot 2 - \mathbf{j} \cdot (-4) + \mathbf{k} \cdot (-4) = (2; 4; -4) ]

Скалярное произведение ( \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) ):
[ \vec{A_1A_2} \cdot (2; 4; -4) = (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) = -2 + 0 - 16 = -18 ]

Объём:
[ V = \frac{1}{6} \cdot |-18| = \frac{18}{6} = 3 ]

Ответ:
Объём пирамиды: ( V = 3 ).

Далее можно продолжить решение для пунктов 5–7 и построения чертежа. Если нужно, уточните!