Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Нам необходимо найти координаты центра тяжести области, ограниченной следующими линиями:
Эти линии создают область между двумя параболами, ограниченную значениями \( x \) от 1 до 2.
Чтобы найти координаты центра тяжести, необходимо сначала вычислить площадь ограниченной области. Площадь между графиками двух функций \( y = 2x^2 \) и \( y = x^2 \) на интервале \( [1, 2] \) можно найти с помощью интеграла:
\[ A = \int_{1}^{2} (2x^2 - x^2)\, dx = \int_{1}^{2} x^2\, dx \]
Решаем этот интеграл:
\[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]
Таким образом, площадь области равна \( \frac{7}{3} \).
Координаты центра тяжести вдоль оси \( x \) вычисляются по формуле:
\[ \bar{x} = \frac{1}{A} \int_{1}^{2} x (2x^2 - x^2) \, dx = \frac{1}{A} \int_{1}^{2} x \cdot x^2 \, dx = \frac{1}{A} \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Решаем интеграл:
\[ \bar{x} = \frac{1}{\frac{7}{3}} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{3}{7} \cdot \left( \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = \frac{3}{7} \cdot \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{7} \cdot \frac{15}{4} = \frac{45}{28} \]
Таким образом, \( \bar{x} = \frac{45}{28} \approx 1.607 \).
Координаты центра тяжести вдоль оси \( y \) вычисляются по формуле:
\[ \bar{y} = \frac{1}{2A} \int_{1}^{2} ((2x^2)^2 - (x^2)^2)\, dx \]
Развернем выражения:
\[ \bar{y} = \frac{1}{2A} \int_{1}^{2} (4x^4 - x^4)\, dx = \frac{1}{2A} \int_{1}^{2} 3x^4\, dx \]
\[ \bar{y} = \frac{1}{2 \cdot \frac{7}{3}} \left[ \frac{3x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \frac{3}{14} \cdot \left( \frac{3 \cdot 2^5}{5} - \frac{3 \cdot 1^5}{5} \right) \]
\[ \bar{y} = \frac{3}{14} \cdot \left( \frac{96}{5} - \frac{3}{5} \right) = \frac{3}{14} \cdot \frac{93}{5} = \frac{279}{70} \approx 3.986 \]
\[ \bar{x} \approx 1.607, \quad \bar{y} \approx 3.986 \]
Вычисляем интеграл: