Найти координаты центра тяжести площади, измеренной по линиям

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия; Центр тяжести плоской фигуры (вычисление для криволинейных фигур при помощи интегралов).

Задание: Найти координаты центра тяжести области, ограниченной линиями $\text{(}y=x^2\text{)}$,$\text{(}y=2x^2\text{)}$,$\text{(}x=1\text{)}$, и $\text{(}x=2\text{)}$.

Шаг 1: Определение области, ограниченной линиями.

Нам необходимо найти координаты центра тяжести области, ограниченной следующими линиями:

• $\text{(}y=x^2\text{)}$
• $\text{(}y=2x^2\text{)}$
• $\text{(}x=1\text{)}$
• $\text{(}x=2\text{)}$

Эти линии создают область между двумя параболами, ограниченную значениями $\text{(}x\text{)}$ от 1 до 2.

Шаг 2: Площадь области.

Чтобы найти координаты центра тяжести, необходимо сначала вычислить площадь ограниченной области. Площадь между графиками двух функций $\text{(}y=2x^2\text{)}$ и $\text{(}y=x^2\text{)}$ на интервале $\text{(}[1,2]\text{)}$ можно найти с помощью интеграла:

$\text{[}A={\int }_1^2(2x^2-x^2)dx={\int }_1^2{x}^{2}dx\text{]}$

Решаем этот интеграл:

$\text{[}A={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\text{]}$

Таким образом, площадь области равна $\text{(}\frac{7}{3}\text{)}$.

Шаг 3: Координаты центра тяжести (по оси x).

Координаты центра тяжести вдоль оси $\text{(}x\text{)}$ вычисляются по формуле:

$\text{[}\overline{x}=\frac{1}{A}{\int }_1^{2}x(2x^2-x^2)dx=\frac{1}{A}{\int }_1^{2}x\cdot x^{2}dx=\frac{1}{A}{\int }_1^2{x}^{3}dx\text{]}$

Решаем интеграл:

$\text{[}\overline{x}=\frac{1}{\frac{7}{3}}\cdot {\left[\frac{x^4}{4}\right]}_1^2=\frac{3}{7}\cdot (\frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4})=\frac{3}{7}\cdot (\frac{16}{4}-\frac{1}{4})=\frac{3}{7}\cdot \frac{15}{4}=\frac{45}{28}\text{]}$

Таким образом, $\text{(}\overline{x}=\frac{45}{28}\approx 1.607\text{)}$.

Шаг 4: Координаты центра тяжести (по оси y).

Координаты центра тяжести вдоль оси $\text{(}y\text{)}$ вычисляются по формуле:

$\text{[}\overline{y}=\frac{1}{2A}{\int }_1^2((2x^2{)}^2-(x^2{)}^2)dx\text{]}$

Развернем выражения:

$\text{[}\overline{y}=\frac{1}{2A}{\int }_1^2(4x^4-x^4)dx=\frac{1}{2A}{\int }_1^{2}3x^{4}dx\text{]}$

$\text{[}\overline{y}=\frac{1}{2\cdot \frac{7}{3}}{\left[\frac{3x^5}{5}\right]}_1^2=\frac{3}{14}\cdot (\frac{3\cdot 2^5}{5}-\frac{3\cdot 1^5}{5})\text{]}$

$\text{[}\overline{y}=\frac{3}{14}\cdot (\frac{96}{5}-\frac{3}{5})=\frac{3}{14}\cdot \frac{93}{5}=\frac{279}{70}\approx 3.986\text{]}$

Ответ: Координаты центра тяжести $\text{(}(\overline{x},\overline{y})\text{)}$ области, ограниченной кривыми, равны:

$\text{[}\overline{x}\approx 1.607,\overline{y}\approx 3.986\text{]}$

Вычисляем интеграл: