Найти длину высоты, опущенной из точки на плоскость, которая задаётся тремя точками

Предмет: Аналитическая геометрия (раздел математики).

Тема: Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Задача:

Найти длину высоты, опущенной из точки \( A_4(2, 5, 4) \) на плоскость, которая задаётся тремя точками \( A_1(2, 3, 2) \), \( A_2(1, 3, 6) \), \( A_3(0, 4, 2) \).

Пояснение и решение:

1. Шаг 1: Уравнение плоскости.

   Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки \( A_1 \), \( A_2 \) и \( A_3 \), мы найдем вектора, определяющие эту плоскость:

   \[ \vec{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (1 - 2, 3 - 3, 6 - 2) = (-1, 0, 4) \]

   \[ \vec{A_1A_3} = A_3 - A_1 = (0 - 2, 4 - 3, 2 - 2) = (-2, 1, 0) \]

   Теперь найдем векторное произведение этих векторов для определения нормального вектора \(\vec{n} = (A, B, C)\) плоскости:

   \[ \vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 4 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot 0 - 4 \cdot (-2)) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) \]

   \[ = (-4, -8, -1) \]

   Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:

   \[ -4(x - x_1) - 8(y - y_1) - (z - z_1) = 0, \]

   где \( A_1 = (2, 3, 2) \). Подставляем значения:

   \[ -4(x - 2) - 8(y - 3) - (z - 2) = 0. \]

   Раскроем скобки:

   \[ -4x + 8 - 8y + 24 - z + 2 = 0, \]

   \[ -4x - 8y - z + 34 = 0. \]

   Или так выглядит уравнение плоскости:

   \[ 4x + 8y + z = 34. \]

2. Шаг 2: Нахождение расстояния от точки до плоскости.

   Формула для расстояния от точки \( A_4(x_4, y_4, z_4) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \):

   \[ d = \frac{|Ax_4 + By_4 + Cz_4 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. \]

   Где \( (A, B, C) = (4, 8, 1) \), а \( D = -34 \). Точка \( A_4 = (2, 5, 4) \). Подставим в формулу:

   \[ d = \frac{|4 \cdot 2 + 8 \cdot 5 + 1 \cdot 4 - 34|}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 1^2}} = \frac{|8 + 40 + 4 - 34|}{\sqrt{16 + 64 + 1}} = \frac{|18|}{\sqrt{81}} = \frac{18}{9} = 2. \]

Ответ:

Длина высоты равна 2.