Найти длину стороны AB, её уравнение и угловой коэффициент

Задание относится к разделу "Аналитическая геометрия" из предмета "Геометрия".

Мы будем работать с задачами, связанными с нахождением уравнений прямых, медиа́н, высот в треугольнике и углов между прямыми.

Дано:

Координаты вершин треугольника:

• A(0; 2)
• B(12; -7)
• C(16; 15)

Теперь решим каждую часть по порядку:

Часть а) Найти длину стороны AB, её уравнение и угловой коэффициент.

1. Длина стороны AB (расстояние между двумя точками):

Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Подставляем координаты точек:

AB = \sqrt{(12 - 0)^2 + (-7 - 2)^2} = \sqrt{12^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15

Следовательно, длина AB = 15.

2. Уравнение прямой AB:

Уравнение прямой в общем виде y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — это значение y при x = 0.

Найдём угловой коэффициент k:

k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-7 - 2}{12 - 0} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4}

Теперь подставим в уравнение y = -\frac{3}{4}x + b. Используем координаты точки A(0; 2) для нахождения b:

Подставляем x = 0, y = 2:

2 = -\frac{3}{4} \times 0 + b \Rightarrow b = 2

Уравнение прямой AB:

y = -\frac{3}{4}x + 2

Получили угловой коэффициент k = -\frac{3}{4} и уравнение прямой AB: y = -\frac{3}{4}x + 2.

Часть б) Уравнение прямой, проходящей через вершину C, параллельной стороне AB.

Чтобы прямая была параллельна стороне AB, её угловой коэффициент должен быть таким же, то есть k = -\frac{3}{4}.

Используем уравнение прямой:

y = kx + b \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{4}x + b

Теперь подставляем координаты точки C(16; 15):

15 = -\frac{3}{4} \times 16 + b

Решаем это уравнение:

15 = -12 + b \quad \Rightarrow \quad b = 27

Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку C и параллельной AB, имеет вид:

y = -\frac{3}{4}x + 27

Часть в) Уравнение высоты CD и её длина.

Высота — это прямая, проходящая через точку C и перпендикулярная прямой AB.

У директрисы AB угловой коэффициент k_{AB} = -\frac{3}{4}, следовательно, коэффициент угла для перпендикулярной прямой будет:

k_{CD} = -\frac{1}{k_{AB}} = \frac{4}{3}

Уравнение высоты CD:

y = \frac{4}{3}x + b

Подставляем координаты точки C(16; 15):

15 = \frac{4}{3} \times 16 + b \quad \Rightarrow \quad 15 = \frac{64}{3} + b

b = 15 - \frac{64}{3} = \frac{45}{3} - \frac{64}{3} = \frac{-19}{3}

Уравнение прямой CD:

y = \frac{4}{3}x - \frac{19}{3}

Для нахождения длины высоты CD, воспользуемся расстоянием от точки C до прямой AB по формуле:

d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Приводим уравнение прямой AB: -\frac{3}{4}x + y - 2 = 0 к общему виду: 3x + 4y - 8 = 0, где A = 3, B = 4, C = -8.

Подставляем координаты C(16; 15):

d = \frac{|3 \times 16 + 4 \times 15 - 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|48 + 60 - 8|}{5} = \frac{100}{5} = 20

Длина высоты CD = 20.

Часть г) Уравнение медианы AE, координаты точки K и пересечение медианы с высотой.

1. Находим середину отрезка BC (координаты точки E) по формуле:

E\left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}\right) = E\left(\frac{12 + 16}{2}; \frac{-7 + 15}{2}\right) = E(14; 4)

2. Найдём уравнение медианы AE.

Для этого используем уравнение прямой через точки A(0; 2) и E(14; 4).

Угловой коэффициент медианы:

k = \frac{4 - 2}{14 - 0} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}

Уравнение медианы AE:

y = \frac{1}{7}x + b

Подставляем A(0; 2):

2 = \frac{1}{7} \times 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 2

Уравнение медианы:

y = \frac{1}{7}x + 2

3. Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений медианы и высоты:

• Медиана: y = \frac{1}{7}x + 2
• Высота: y = \frac{4}{3}x - \frac{19}{3}

Сравняем:

\frac{1}{7}x + 2 = \frac{4}{3}x - \frac{19}{3}

Решаем относительно x: