Найти: Длину ребра AB Площадь грани ABC Объем V пирамиды Длину высоты опущенной из вершины

Задание относится к стереометрии — это раздел геометрии (математики), который изучает свойства трехмерных фигур.

В данном случае мы имеем пирамиду с вершинами в точках \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \), и нужно найти разные величины, такие как длину ребра, площадь грани, объем и высоту пирамиды. Выполним задание шаг за шагом:

1. Длина ребра \( AB \)

Длина ребра \( AB \) — это длина отрезка, соединяющего точки \( A \) и \( B \). Для поиска длины отрезка между двумя точками в пространстве с координатами используем формулу:

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

Координаты:

• \( A(-2, -5, -1) \)
• \( B(-6, -7, 9) \)

Подставляем значения в формулу:

\[ AB = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (-7 - (-5))^2 + (9 - (-1))^2} \]

\[ AB = \sqrt{(-6 + 2)^2 + (-7 + 5)^2 + (9 + 1)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (10)^2} \]

\[ AB = \sqrt{16 + 4 + 100} = \sqrt{120} \]

\[ AB = 2\sqrt{30} \]

Длина ребра \( AB \) равна \( 2\sqrt{30} \).

2. Площадь грани \( ABC \)

Чтобы найти площадь треугольной грани \( ABC \), воспользуемся векторным методом для нахождения площади треугольника. Сначала нужно вычислить векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \).

Вектор \( \overrightarrow{AB} \):

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-6 - (-2), -7 - (-5), 9 - (-1)) = (-4, -2, 10) \]

Вектор \( \overrightarrow{AC} \):

• Координаты \( C(4, -5, 1) \)

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (4 - (-2), -5 - (-5), 1 - (-1)) = (6, 0, 2) \]

Теперь найдём векторное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

Формула для векторного произведения выглядит так:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -2 & 10 \\ 6 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем определитель:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \left( (-2) \cdot 2 - 0 \cdot 10 \right) - \mathbf{j} \left( (-4) \cdot 2 - 10 \cdot 6 \right) + \mathbf{k} \left( (-4) \cdot 0 - (-2) \cdot 6 \right) \]

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \cdot (-4) - \mathbf{j} \cdot (-64) + \mathbf{k} \cdot 12 \]

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-4, 64, 12) \]

Теперь найдём длину этого вектора, то есть его модуль:

\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 64^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 4096 + 144} = \sqrt{4256} \]

\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 65.24 \]

Площадь треугольника вычисляется как половина длины векторного произведения:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 65.24 = 32.62 \]

Площадь грани \( ABC \) равна приблизительно \( 32.62 \) квадратных единиц.

3. Объем пирамиды

Объем пирамиды рассчитывается по формуле:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \right| \]

Для этого нужно вычислить вектор \( \overrightarrow{AD} \), а также смешанное произведение векторов \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \).

Вектор \( \overrightarrow{AD} \):

• Координаты \( D(2, 1, 4) \)

\[ \overrightarrow{AD} = D - A = (2 - (-2), 1 - (-5), 4 - (-1)) = (4, 6, 5) \]

Теперь найдём векторное произведение \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \):

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & 0 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \end{vmatrix} \]

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \mathbf{i}((-2) \cdot 5 - 0 \cdot 6) - \mathbf{j}((6) \cdot (5) - (2) \cdot (4)) + \mathbf{k}((6) \cdot (6) - 0 \cdot 4) \]

Рассчитываем это выражение: