Найти длину ребра A_1A_2

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Геометрия в пространстве

Дано:
Вершины пирамиды:
A_1(2;0;-1),
A_2(-2;-11;5),
A_3(1;-4;-1),
A_4(-2;1;-4).

Необходимо найти:

1. Длину ребра A_1A_2.
2. Угол между рёбрами A_1A_2 и A_1A_4.
3. Площадь грани A_1A_2A_3.
4. Объём пирамиды.

Решение:

1) Длина ребра A_1A_2

Формула расстояния между двумя точками в пространстве:
 d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} 

Подставляем координаты точек A_1(2;0;-1) и A_2(-2;-11;5):
 A_1A_2 = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-11 - 0)^2 + (5 + 1)^2} 
 = \sqrt{(-4)^2 + (-11)^2 + (6)^2} 
 = \sqrt{16 + 121 + 36} = \sqrt{173} 

2) Угол между рёбрами A_1A_2 и A_1A_4

Угол между векторами \overrightarrow{A_1A_2} и \overrightarrow{A_1A_4} определяется по формуле:
 \cos \theta = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}}{|\vec{A_1A_2}| |\vec{A_1A_4}|} 

Найдем координаты векторов:
 \overrightarrow{A_1A_2} = (-2 - 2, -11 - 0, 5 + 1) = (-4, -11, 6) 
 \overrightarrow{A_1A_4} = (-2 - 2, 1 - 0, -4 + 1) = (-4, 1, -3) 

Скалярное произведение:
 \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_4} = (-4) \cdot (-4) + (-11) \cdot 1 + 6 \cdot (-3) 
 = 16 - 11 - 18 = -13 

Длина вектора \overrightarrow{A_1A_4}:
 |\overrightarrow{A_1A_4}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26} 

Подставляем в формулу косинуса:
 \cos \theta = \frac{-13}{\sqrt{173} \cdot \sqrt{26}} 

3) Площадь грани A_1A_2A_3

Площадь треугольника, заданного вершинами, можно найти через векторное произведение:
 S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}| 

Вычисляем координаты вектора \overrightarrow{A_1A_3}:
 \overrightarrow{A_1A_3} = (1 - 2, -4 - 0, -1 + 1) = (-1, -4, 0) 

Находим векторное произведение:
 \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -4 & -11 & 6 \ -1 & -4 & 0 \end{vmatrix} 

Рассчитываем определитель:
 \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \mathbf{i} (0 - (-24)) - \mathbf{j} (0 - (-6)) + \mathbf{k} (16 - 11) 
 = (24, 6, 5) 

Модуль вектора:
 |\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{24^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{576 + 36 + 25} = \sqrt{637} 

Площадь треугольника:
 S = \frac{1}{2} \sqrt{637} 

4) Объём пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле:
 V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (\overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4}) \right| 

Рассчитываем векторное произведение \overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4}:
 \overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & -4 & 0 \ -4 & 1 & -3 \end{vmatrix} 

Рассчитываем определитель:
 \mathbf{i}((-4) \cdot (-3) - (0 \cdot 1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-3) - (0 \cdot (-4))) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - (-4) \cdot (-4)) 
 = (12, -3, -15) 

Находим смешанное произведение:
 \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (12, -3, -15) = (-4) \cdot 12 + (-11) \cdot (-3) + 6 \cdot (-15) 
 = -48 + 33 - 90 = -105 

Объём пирамиды:
 V = \frac{1}{6} | -105 | = \frac{105}{6} = 17.5 

Ответ:

1. \sqrt{173}
2. \cos \theta = \frac{-13}{\sqrt{173} \cdot \sqrt{26}}
3. \frac{1}{2} \sqrt{637}
4. 17.5