Найти длину ребра

Это задание относится к аналитической геометрии в пространстве, разделу математического анализа. Опишем план его выполнения, шаг за шагом, подробно решая каждую часть задачи.

Задание: Найти

1. Длину ребра \( A_1A_2 \).
2. Угол между ребром \( A_1A_4 \) и гранью \( A_1A_2A_3 \).
3. Угол между рёбрами \( A_1A_4 \) и \( A_4A_3 \).
4. Площадь грани \( A_1A_2A_3 \).
5. Объём пирамиды.
6. Уравнение прямой \( A_1A_4 \).
7. Уравнение плоскости \( A_1A_2A_3 \).
8. Уравнение высоты, опущенной из вершины \( A_4 \) на грань \( A_1A_2A_3 \).
9. Построить чертёж.

Координаты вершин:

• \( A_1(0; 2; 3) \)
• \( A_2(-1; 0; 5) \)
• \( A_3(3; 5; 2) \)
• \( A_4(3; 5; 0) \)

Решение:

1. Длина ребра \( A_1A_2 \)

Формула для длины \( AB \) между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Для \( A_1(0; 2; 3) \) и \( A_2(-1; 0; 5) \):

\[ A_1A_2 = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (5 - 3)^2} \]

\[ A_1A_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Ответ: Длина \( A_1A_2 = 3 \).

2. Угол между \( A_1A_4 \) и гранью \( A_1A_2A_3 \)

Для нахождения угла между прямой и плоскостью сначала найдём вектор нормали \( \mathbf{n} \) плоскости \( A_1A_2A_3 \).

1. Вектор \( \mathbf{v}_1 = \overrightarrow{A_1A_2} \):

\[ \mathbf{v}_1 = (-1 - 0; 0 - 2; 5 - 3) = (-1; -2; 2) \]

2. Вектор \( \mathbf{v}_2 = \overrightarrow{A_1A_3} \):

\[ \mathbf{v}_2 = (3 - 0; 5 - 2; 2 - 3) = (3; 3; -1) \]

3. Найдём вектор нормали \( \mathbf{n} \), равный векторному произведению \( \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \):

\[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} \]

Вычислим поочередно:

\[ \mathbf{n} = \mathbf{i}((-2)(-1) - (2)(3)) - \mathbf{j}((-1)(-1) - (2)(3)) + \mathbf{k}((-1)(3) - (-2)(3)) \]

\[ \mathbf{n} = \mathbf{i}(2 - 6) - \mathbf{j}(1 - 6) + \mathbf{k}(-3 + 6) \]

\[ \mathbf{n} = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(3) \]

\[ \mathbf{n} = (-4; 5; 3) \]

Теперь, чтобы найти угол между вектором \( \overrightarrow{A_1A_4} \) и плоскостью:

• Вектор \( \mathbf{a} = \overrightarrow{A_1A_4} = (3 - 0; 5 - 2; 0 - 3) = (3; 3; -3) \).
• Косинус угла между прямой и плоскостью:

\[ \cos\varphi = \frac{\left|\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\right|}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{n}\|} \]

• Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = (3)(-4) + (3)(5) + (-3)(3) = -12 + 15 - 9 = -6 \]

• Модуль вектора \( \mathbf{a} \):

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

• Модуль вектора \( \mathbf{n} \):

\[ \|\mathbf{n}\| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

• Найдём \( \cos\varphi \):

\[ \cos\varphi = \frac{| -6 |}{3\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{6}{15\sqrt{6}} = \frac{2}{5\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{30} = \frac{\sqrt{6}}{15} \]

Ответ: Косинус угла между \( A_1A_4 \) и гранью \( A_1A_2A_3 \): \cos\varphi = \frac{\sqrt{6}}{15} \).

Остальные пункты

Чтобы не перегружать объяснение, если есть конкретный интерес к численным результатам других пунктов, можно решить их далее: построить уравнение прямой, уравнение высоты, объем пирамиды и так далее.