Найти длину отрезков AB, АC, BC

Это задание относится к предмету геометрия, разделу аналитическая геометрия. Даны координаты трёх точек \( A(1; 7) \), \( B(-3; -1) \) и \( C(11; -3) \) в декартовой системе координат. Работа с координатами точек чаще всего включает такие задачи, как нахождение длин отрезков, уравнений прямых, нахождение площади треугольников и т.д. В задачи не указано, что нужно сделать с точками, так что я предположу несколько возможных вопросов и постараюсь помочь в их решении.

Вопрос 1: Найти длину отрезков \( AB \), \( AC \), \( BC \)

Для нахождения длины отрезка между двумя точками в координатной плоскости используется формула расстояния между точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Длина отрезка \( AB \):

Точки: \( A(1, 7) \) и \( B(-3, -1) \).

\[ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (7 + 1)^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} \approx 8.94 \]

Длина отрезка \( AC \):

Точки: \( A(1, 7) \) и \( C(11, -3) \).

\[ AC = \sqrt{(1 - 11)^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{(-10)^2 + (7 + 3)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \approx 14.14 \]

Длина отрезка \( BC \):

Точки: \( B(-3, -1) \) и \( C(11, -3) \).

\[ BC = \sqrt{(-3 - 11)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{(-14)^2 + (-1 + 3)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} \approx 14.14 \]

Вопрос 2: Найти площадь треугольника \( ABC \)

Для нахождения площади треугольника по известным координатам трех его вершин используется формула:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

Подставим координаты: Точки \( A(1, 7) \), \( B(-3, -1) \), \( C(11, -3) \).

\[ S = \frac{1}{2} \left| 1((-1) - (-3)) + (-3)((-3) - 7) + 11(7 - (-1)) \right| \]

\[ S = \frac{1}{2} \left| 1 \times (-1 + 3) + (-3) \times (-3 - 7) + 11 \times (7 + 1) \right| = \frac{1}{2} \left| 2 + 30 + 88 \right| \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 120 = 60 \]

Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 60 \) квадратных единиц.

Вопрос 3: Определить, является ли треугольник \( ABC \) прямоугольным

Чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей стороны, то треугольник прямоугольный. У нас есть длины сторон:

\[ AB \approx 8.94, \quad AC \approx 14.14, \quad BC \approx 14.14 \]

Очевидно, что это два одинаковых отрезка \( AC \) и \( BC \), и один меньший — \( AB \). Применим теорему Пифагора.

\[ AB^2 + AC^2 \stackrel{?}{=} BC^2 \]

\[ 8.94^2 + 14.14^2 = 80 + 200 = 280 \]

\[ 14.14^2 = 200 \]

\[ 80 + 200 \neq 200 \]

Так как сумма квадратов сторон не равна квадрату третьей стороны, треугольник не является прямоугольным.

Итог

• Длины сторон: \( AB \approx 8.94 \), \( AC \approx 14.14 \), \( BC \approx 14.14 \)
• Площадь треугольника равна \( 60 \) квадратных единиц.
• Треугольник не является прямоугольным.

Если возникнет дополнительный вопрос или нужно более детальное объяснение, пожалуйста, уточните!