Найти длину отрезков AB, АC, BC

Это задание относится к предмету геометрия, разделу аналитическая геометрия. Даны координаты трёх точек $\text{(}A(1;7)\text{)}$, $\text{(}B(-3;-1)\text{)}$ и $\text{(}C(11;-3)\text{)}$ в декартовой системе координат. Работа с координатами точек чаще всего включает такие задачи, как нахождение длин отрезков, уравнений прямых, нахождение площади треугольников и т.д. В задачи не указано, что нужно сделать с точками, так что я предположу несколько возможных вопросов и постараюсь помочь в их решении.

Вопрос 1: Найти длину отрезков $\text{(}AB\text{)}$, $\text{(}AC\text{)}$, $\text{(}BC\text{)}$

Для нахождения длины отрезка между двумя точками в координатной плоскости используется формула расстояния между точками:

$\text{[}d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}\text{]}$

Длина отрезка $\text{(}AB\text{)}$:

Точки: $\text{(}A(1,7)\text{)}$ и $\text{(}B(-3,-1)\text{)}$.

$\text{[}AB=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(7-(-1){)}^2}=\sqrt{(1+3{)}^2+(7+1{)}^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}\approx 8.94\text{]}$

Длина отрезка $\text{(}AC\text{)}$:

Точки: $\text{(}A(1,7)\text{)}$ и $\text{(}C(11,-3)\text{)}$.

$\text{[}AC=\sqrt{(1-11{)}^2+(7-(-3){)}^2}=\sqrt{(-10{)}^2+(7+3{)}^2}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}\approx 14.14\text{]}$

Длина отрезка $\text{(}BC\text{)}$:

Точки: $\text{(}B(-3,-1)\text{)}$ и $\text{(}C(11,-3)\text{)}$.

$\text{[}BC=\sqrt{(-3-11{)}^2+(-1-(-3){)}^2}=\sqrt{(-14{)}^2+(-1+3{)}^2}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200}\approx 14.14\text{]}$

Вопрос 2: Найти площадь треугольника $\text{(}ABC\text{)}$

Для нахождения площади треугольника по известным координатам трех его вершин используется формула:

$\text{[}S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|\text{]}$

Подставим координаты: Точки $\text{(}A(1,7)\text{)}$, $\text{(}B(-3,-1)\text{)}$, $\text{(}C(11,-3)\text{)}$.

$\text{[}S=\frac{1}{2}|1((-1)-(-3))+(-3)((-3)-7)+11(7-(-1))|\text{]}$

$\text{[}S=\frac{1}{2}|1\times (-1+3)+(-3)\times (-3-7)+11\times (7+1)|=\frac{1}{2}|2+30+88|\text{]}$

$\text{[}S=\frac{1}{2}\times 120=60\text{]}$

Площадь треугольника $\text{(}ABC\text{)}$ равна $\text{(}60\text{)}$ квадратных единиц.

Вопрос 3: Определить, является ли треугольник $\text{(}ABC\text{)}$ прямоугольным

Чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей стороны, то треугольник прямоугольный. У нас есть длины сторон:

$\text{[}AB\approx 8.94,AC\approx 14.14,BC\approx 14.14\text{]}$

Очевидно, что это два одинаковых отрезка $\text{(}AC\text{)}$ и $\text{(}BC\text{)}$, и один меньший — $\text{(}AB\text{)}$. Применим теорему Пифагора.

$\text{[}A{B}^2+A{C}^2\stackrel{?}{=}B{C}^2\text{]}$

$\text{[}{8.94}^2+{14.14}^2=80+200=280\text{]}$

$\text{[}{14.14}^2=200\text{]}$

$\text{[}80+200\ne 200\text{]}$

Так как сумма квадратов сторон не равна квадрату третьей стороны, треугольник не является прямоугольным.

Итог

• Длины сторон: $\text{(}AB\approx 8.94\text{)}$, $\text{(}AC\approx 14.14\text{)}$, $\text{(}BC\approx 14.14\text{)}$
• Площадь треугольника равна $\text{(}60\text{)}$ квадратных единиц.
• Треугольник не является прямоугольным.

Если возникнет дополнительный вопрос или нужно более детальное объяснение, пожалуйста, уточните!