Найти: длину и уравнение стороны ВС. длину и уравнение высоты иК. длину и уравнение медианы СМ. угол В. площадь треугольника ABC. координаты точек F,F2, делящих отрезок АВ на три равные части

Предмет: аналитическая геометрия (раздел: координатная геометрия).

1. Длина и уравнение стороны BC.

Сначала находим длину отрезка \(BC\) с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} \] \[ BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Теперь находим уравнение стороны \(BC\). Используем общее уравнение прямой через две точки:

\[ y - y_B = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} (x - x_B) \] \[ y + 1 = \frac{1 + 1}{2 - 4}(x - 4) = \frac{2}{-2}(x - 4) \] \[ y + 1 = - (x - 4) \] \[ y + 1 = - x + 4 \] \[ y = - x + 3 \]

Таким образом, уравнение стороны BC: \(y = -x + 3\).

---

2. Длина и уравнение высоты AK.

Высота \(AK\) — это перпендикуляр, опущенный из точки \(A(0,7)\) на сторону \(BC\).

Сначала найдем угловой коэффициент прямой \(BC\) (он равен -1, так как из уравнения стороны BC: \(y = -x + 3\)). Угловой коэффициент перпендикуляра к \(BC\) будет обратным (с противоположным знаком): \(k_{\text{перп}} = 1\).

Теперь уравнение высоты \(AK\), проходящей через точку \(A(0,7)\), будет иметь вид:

\[ y - y_A = k_{\text{перп}}(x - x_A) \] \[ y - 7 = 1(x - 0) \] \[ y = x + 7 \]

Таким образом, уравнение высоты \(AK\): \(y = x + 7\).

Теперь найдем точку пересечения высоты \(AK\) и стороны \(BC\) (это будет основание высоты, точка \(K\)).

Для этого решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x + 7 \\ y = -x + 3 \end{cases} \]

Приравняем правые части:

\[ x + 7 = -x + 3 \] \[ 2x = -4 \\ x = -2 \]

Теперь подставим \(x = -2\) в одно из уравнений (например, \(y = x + 7\)):

\[ y = -2 + 7 = 5 \]

Таким образом, точка \(K(-2,5)\). Теперь вычислим длину высоты \(AK\) по формуле расстояния между точками \(A(0,7)\) и \(K(-2,5)\):

\[ AK = \sqrt{(x_K - x_A)^2 + (y_K - y_A)^2} = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

---

3. Длина и уравнение медианы CM.

Точка M — это середина стороны \(AB\). Сначала найдем координаты середины отрезка \(AB\), используя формулы:

\[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \] \[ x_M = \frac{0 + 4}{2} = 2, \quad y_M = \frac{7 - 1}{2} = 3 \]

Значит, координаты точки \(M(2,3)\). Теперь найдем уравнение медианы \(CM\), которая проходит через точки \(C(2,1)\) и \(M(2,3)\).

Так как обе точки имеют одинаковые абсциссы \(x_C = x_M = 2\), то медиана будет вертикальной линией с уравнением:

\[ x = 2 \]

Теперь вычислим длину медианы \(CM\):

\[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \]

---

4. Угол B.

Найдем тангенс угла \(B\) между сторонами \(AB\) и \(BC\).

Для этого используем угловые коэффициенты сторон \(AB\) и \(BC\).

Угловой коэффициент стороны \(AB\):

\[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 7}{4 - 0} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Угловой коэффициент стороны \(BC\) уже найден (\(k_{BC} = -1\)).

Теперь тангенс угла между прямыми:

\[ \tan \varphi = \left|\frac{k_{AB} - k_{BC}}{1 + k_{AB}k_{BC}}\right| \] \[ \tan \varphi = \left|\frac{-2 - (-1)}{1 + (-2)(-1)}\right| = \left|\frac{-2 + 1}{1 + 2}\right| = \left|\frac{-1}{3}\right| = \frac{1}{3} \]

Таким образом, \(\tan \varphi = \frac{1}{3}\), отсюда угол \(B\) можно найти как \(\varphi = \arctan\left(\frac{1}{3}\right)\).

---

5. Площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника можно найти по формуле для треугольника с известными координатами вершин:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right| \]

Подставляем координаты вершин \(A(0,7)\), \(B(4,-1)\), \(C(2,1)\):

\[ S = \frac{1}{2} \left| 0(-1 - 1) + 4(1 - 7) + 2(7 + 1) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 4(-6) + 2(8) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| -24 + 16 \right| = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \]

Площадь треугольника ABC равна 4 квадратным единицам.

---

6. Координаты точек F1 и F2, делящих отрезок AB на три равные части.

Координаты точек, делящих отрезок на три равные части, находятся по формуле:

\[ x_{F1} = \frac{2x_A + x_B}{3}, \quad y_{F1} = \frac{2y_A + y_B}{3} \] \[ x_{F2} = \frac{x_A + 2x_B}{3}, \quad y_{F2} = \frac{y_A + 2y_B}{3} \]

Вычислим для \(F_1\):

\[ x_{F1} = \frac{2 \cdot 0 + 4}{3} = \frac{4}{3}, \quad y_{F1} = \frac{2 \cdot 7 - 1}{3} = \frac{14 - 1}{3} = \frac{13}{3} \]

Теперь для \(F_2\):

\[ x_{F2} = \frac{0 + 2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3}, \quad y_{F2} = \frac{7 + 2 \cdot (-1)}/3 = \frac{7 - 2}{3} = \frac{5}{3} \]

Таким образом, координаты точек \(F_1\left(\frac{4}{3}, \frac{13}{3}\right)\) и \(F_2\left(\frac{8}{3}, \frac{5}{3}\right)\).

---

7. Чертеж.

Чертеж можно выполнить, изобразив на координатной плоскости точки \(A(0,7)\), \(B(4,-1)\), \(C(2,1)\), построить треугольник ABC и добавить высоты, медианы и отрезки с точками \(F_1\) и \(F_2\).