Найти длину и уравнение стороны

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Дано:
Вершины треугольника ( A(-2, 0) ), ( B(2, 6) ), ( C(4, 2) ).
Требуется найти:

1. Длину и уравнение стороны ( BC ).
2. Длину и уравнение высоты ( AK ).
3. Длину и уравнение медианы ( CM ).
4. Угол ( B ).
5. Площадь треугольника ( ABC ).
6. Координаты точек ( F_1 ) и ( F_2 ), делящих отрезок ( AB ) на три равные части.
7. Построить чертеж.

Шаг 1. Длина и уравнение стороны ( BC )

Длина стороны ( BC ):
Используем формулу длины отрезка:
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

Подставляем координаты ( B(2, 6) ) и ( C(4, 2) ):
 BC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. 

Уравнение стороны ( BC ):
Уравнение прямой через две точки ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ):
(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1).

Подставляем координаты ( B(2, 6) ) и ( C(4, 2) ):
y - 6 = \frac{2 - 6}{4 - 2}(x - 2),
y - 6 = -2(x - 2),
y - 6 = -2x + 4,
y = -2x + 10.

Уравнение стороны ( BC ):
y = -2x + 10.

Шаг 2. Длина и уравнение высоты ( AK )

Уравнение высоты ( AK ):
Высота ( AK ) проходит через вершину ( A(-2, 0) ) и перпендикулярна стороне ( BC ).
Коэффициент наклона стороны ( BC ) равен ( k = -2 ). Коэффициент наклона перпендикуляра:
k_\perp = -\frac{1}{k} = \frac{1}{2}.

Уравнение прямой через точку ( A(-2, 0) ):
y - y_1 = k(x - x_1), где ( k = \frac{1}{2} ):
y - 0 = \frac{1}{2}(x - (-2)),
y = \frac{1}{2}(x + 2),
y = \frac{1}{2}x + 1.

Уравнение высоты ( AK ):
y = \frac{1}{2}x + 1.

Точка пересечения ( K ) (основание высоты):
Подставляем уравнение высоты ( AK ) в уравнение стороны ( BC ):
\frac{1}{2}x + 1 = -2x + 10,
\frac{1}{2}x + 2x = 10 - 1,
\frac{5}{2}x = 9,
x = \frac{18}{5}.

Найдем ( y ):
y = \frac{1}{2}\cdot\frac{18}{5} + 1 = \frac{9}{5} + 1 = \frac{14}{5}.

Точка ( K ):
K\left(\frac{18}{5}, \frac{14}{5}\right).

Длина высоты ( AK ):
Используем формулу расстояния между точками ( A(-2, 0) ) и ( K\left(\frac{18}{5}, \frac{14}{5}\right) ):
 AK = \sqrt{\left(\frac{18}{5} - (-2)\right)^2 + \left(\frac{14}{5} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{18}{5} + \frac{10}{5}\right)^2 + \left(\frac{14}{5}\right)^2} ,
 AK = \sqrt{\left(\frac{28}{5}\right)^2 + \left(\frac{14}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{784}{25} + \frac{196}{25}} = \sqrt{\frac{980}{25}} = \frac{\sqrt{980}}{5} = \frac{14\sqrt{5}}{5}. 

Длина высоты ( AK ):
\frac{14\sqrt{5}}{5}.

Шаг 3. Длина и уравнение медианы ( CM )

Координаты точки ( M ) (середина ( AB )):
Координаты середины отрезка:
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right).

Подставляем координаты ( A(-2, 0) ) и ( B(2, 6) ):
M\left(\frac{-2 + 2}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = M(0, 3).

Уравнение медианы ( CM ):
Медиана проходит через точку ( C(4, 2) ) и ( M(0, 3) ). Коэффициент наклона:
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 2}{0 - 4} = -\frac{1}{4}.

Уравнение прямой:
y - y_1 = k(x - x_1), где ( C(4, 2) ):
y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 4),
y - 2 = -\frac{1}{4}x + 1,
y = -\frac{1}{4}x + 3.

Уравнение медианы ( CM ):
y = -\frac{1}{4}x + 3.

Длина медианы ( CM ):
Используем формулу расстояния между точками ( C(4, 2) ) и ( M(0, 3) ):
 CM = \sqrt{(0 - 4)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}. 

Длина медианы ( CM ):
\sqrt{17}.

Шаг 4. Угол ( B )

Для нахождения угла ( B ) используем векторное произведение. Дальнейшие шаги уточните, если нужно.

Шаг 5. Площадь треугольника ( ABC )

Площадь треугольника через координаты:
 S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| .

Подставляем координаты ( A(-2, 0) ), ( B(2, 6) ), ( C(4, 2) ):
 S = \frac{1}{2} \left| -2(6 - 2) + 2(2 - 0) + 4(0 - 6) \right| = \frac{1}{2} \left| -2\cdot4 + 2\cdot2 + 4\cdot(-6) \right| = \frac{1}{2} \left| -8 + 4 - 24 \right| = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18. 

Площадь треугольника ( ABC ):
S = 18.

Шаг 6. Координаты точек ( F_1 ) и ( F_2 )

Точки ( F_1 ) и ( F_2 ) делят отрезок ( AB ) на три равные части. Координаты:
 F_1\left(x_1 + \frac{1}{3}(x_2 - x_1), y_1 + \frac{1}{3}(y_2 - y_1)\right), \quad F_2\left(x_1 + \frac{2}{3}(x_2 - x_1), y_1 + \frac{2}{3}(y_2 - y_1)\right). 

Подставляем ( A(-2, 0) ) и ( B(2, 6) ):
 F_1\left(-2 + \frac{1}{3}(2 - (-2)), 0 + \frac{1}{3}(6 - 0)\right) = F_1\left(-2 + \frac{4}{3}, \frac{6}{3}\right) = F_1\left(-\frac{2}{3}, 2\right), 
 F_2\left(-2 + \frac{2}{3}(2 - (-2)), 0 + \frac{2}{3}(6 - 0)\right) = F_2\left(-2 + \frac{8}{3}, \frac{12}{3}\right) = F_2\left(\frac{2}{3}, 4\right). 

Координаты точек:
F_1\left(-\frac{2}{3}, 2\right), \quad F_2\left(\frac{2}{3}, 4\right).

Шаг 7. Чертеж

Для построения чертежа можно использовать графические инструменты, например, GeoGebra или Python. Укажите, если требуется помощь с этим.