Найти длину и уравнение сторон

Эти задания относятся к предмету "аналитическая геометрия", разделу "геометрические расчёты на плоскости и в пространстве".

Начнём с первого пункта первого задания для треугольника \(ABC\) с данными вершинами \( A(1; 2),\ B(4; 5),\ C(10; -2) \). Требуется найти следующие величины:

1. Длина и уравнение стороны \(BC\):

Длина отрезка между двумя точками:

Формула длины отрезка между точками A \((x_1, y_1)\) и B \((x_2, y_2)\):

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Применим эту формулу к точкам \( B(4,5) \) и \( C(10,-2) \):

\[ BC = \sqrt{(10 - 4)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-7)^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \]

\[ BC = \sqrt{85} \approx 9.22 \]

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Формула уравнения прямой по данным двум точкам \( B(x_1, y_1) \) и \( C(x_2, y_2) \):

\[ (y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \]

Подставим координаты точек \( B(4,5) \) и \( C(10,-2) \):

\[ (y - 5) = \frac{-2 - 5}{10 - 4} (x - 4) \]

\[ y - 5 = \frac{-7}{6} (x - 4) \]

Рассчитаем:

\[ y - 5 = \frac{-7}{6}x + \frac{28}{6} \]

\[ y = \frac{-7}{6}x + \frac{28}{6} + 5 = \frac{-7}{6}x + \frac{28}{6} + \frac{30}{6} \]

\[ y = \frac{-7}{6}x + \frac{58}{6} = \frac{-7}{6}x + \frac{29/3} \]

Уравнение прямой \(BC\):

\[ y = \frac{-7}{6}x + \frac{29/3} \]

Далее можно продолжить решение задания по пунктам, если это необходимо.