Найти частные производные, критические точки, построить графики

Определение предмета задания

Это задание относится к математике, а именно к разделу аналитическая геометрия и математический анализ, тема: функции многих переменных.

Теперь давайте рассмотрим ваше уравнение: \[ z = x^3 - 2x^2y^2 + y^4 \]

Что мы можем сделать с этой функцией? Все зависит от задачи. Например, можно найти частные производные, критические точки, построить графики и так далее. Для начала уточните, что требуется выполнить с этой функцией.

Однако давайте начнем с того, что я покажу, как можно найти частные производные по \(x\) и \(y\), что часто бывает необходимо для анализа поведения функции.

Найдём частные производные

1. Частная производная по \(x\):

   Формально записываем частную производную функции \(z\) по \(x\):

   \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 - 2x^2y^2 + y^4) \]

   Теперь по-очередно дифференцируем каждый член функции:

   • Производная от \(x^3\) по \(x\) будет:

   \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^3) = 3x^2 \]

   • Производная от \(-2x^2y^2\) по \(x\):

   \[ \frac{\partial}{\partial x}(-2x^2y^2) = -4xy^2 \]

   (Так как \(y\) в производной по \(x\) считается константой, \(-2x^2\) дифференцируется как \(-4x\).)

   • Производная от \(y^4\) по \(x\) равна нулю, так как здесь нет переменной \(x\).

   Таким образом:

   \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 4xy^2 \]

2. Частная производная по \(y\):

   Теперь возьмём частную производную по \(y\):

   \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 - 2x^2y^2 + y^4) \]

   По-очередно дифференцируем:

   • Производная от \(x^3\) по \(y\) равна нулю, так как переменной \(x^3\) нет зависимости по \(y\).
   • Производная от \(-2x^2y^2\) по \(y\):

   \[ \frac{\partial}{\partial y}(-2x^2y^2) = -4x^2y \]

   (Так как \(x\) считается константой при дифференцировании по \(y\), мы дифференцируем по \(y^2\), что даёт \(2y\).)

   • Производная от \(y^4\) по \(y\):

   \[ \frac{\partial}{\partial y}(y^4) = 4y^3 \]

   Следовательно:

   \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -4x^2y + 4y^3 \]

Итог

Мы нашли частные производные функции:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 4xy^2 \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -4x^2y + 4y^3 \]

Теперь, если вам нужно выполнить что-то ещё: найти экстремумы функции, построить график, найти точки стационарности — дайте знать, я помогу выполнить следующие шаги.