Найти центр тяжести треугольника АВС

Это задание принадлежит предмету "Геометрия" и его разделу "Аналитическая геометрия".

1. Найти центр тяжести (или центроид) треугольника ABC:

   Центроид (центр тяжести) треугольника находится как среднее арифметическое координат его вершин. Формулы для координат центра тяжести \(G(x, y)\) следующие:

   x = (x1 + x2 + x3) / 3

   y = (y1 + y2 + y3) / 3

   Для вершин треугольника A(0, 5), B(7, 0), C(-1, -2):

   x = (0 + 7 - 1) / 3 = 6 / 3 = 2

   y = (5 + 0 - 2) / 3 = 3 / 3 = 1

   Центр тяжести треугольника ABC: G(2, 1)

2. Найти координаты точек \(M_1\) и \(M_2\), делящих отрезки AB и BC в заданных отношениях \(\lambda = 2\) и \(\lambda = \frac{1}{2}\) соответственно.

   • Точка \(M_1\) делит отрезок AB в отношении 2:1 (значит от точки A к точке B).

     Формула для нахождения координат точки, делящей отрезок \(AB\) в отношении \(\lambda\) такая:

     M(x, y) = ((x1 + λx2) / (1 + λ), (y1 + λy2) / (1 + λ))

     Для отрезка AB и \(\lambda = 2\):

     x = (0 + 2*7) / (1 + 2) = 14 / 3

     y = (5 + 2*0) / (1 + 2) = 5 / 3

     Координаты точки \(M_1\): (14/3, 5/3)

   • Точка \(M_2\) делит отрезок BC в отношении 1:2 (значит от точки B к точке C).

     M(x, y) = ((x2 + λx3) / (1 + λ), (y2 + λy3) / (1 + λ))

     Для отрезка BC и \(\lambda = 1/2\):

     x = (7 + 1/2*(-1)) / (1 + 1/2) = (7 - 0.5) / 1.5 = 6.5 / 1.5 = 13 / 3

     y = (0 + 1/2*(-2)) / (1 + 1/2) = (0 - 1) / 1.5 = -1 / 1.5 = -2 / 3

     Координаты точки \(M_2\): (13/3, -2/3)

3. Найти площадь треугольника ABC.

   Для вычисления площади треугольника по координатам его вершин можно использовать формулу:

   Площадь = 0.5 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|

   Подставим координаты вершин A(0, 5), B(7, 0), C(-1, -2):

   Площадь = 0.5 * |0(0 - (-2)) + 7(-2 - 5) + (-1)(5 - 0)|

   = 0.5 * |0 + 7*(-7) + (-1)*5|

   = 0.5 * |0 - 49 - 5|

   = 0.5 * |-54|

   = 27

Площадь треугольника ABC равна 27.