Найти центр тяжести однородной кривой, заданной уравнением

Предмет: Теоретическая механика (или аналитическая геометрия)

Раздел предмета: Статика (Центр тяжести кривых)

Условие задачи:

Найдите центр тяжести однородной кривой \(L\), заданной уравнением \[ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \], где \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\). Необходимо найти координаты центра тяжести этого элемента дуги.

Шаг 1: Представим кривую.

Уравнение \(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}\) описывает четверть астроиды. Астроида — это специальный вид кривой, симметричной относительно осей. Мы рассматриваем лишь её положительные части, где \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\). Для начала выразим \(y\) через \(x\):

\[ y = \left(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}. \]

Шаг 2: Формулы для нахождения центра тяжести.

Центр тяжести однородной кривой определяется по следующим формулам для координат \(x_c\) и \(y_c\):

\[ x_c = \frac{1}{L} \int_{L} x \, ds, \]

\[ y_c = \frac{1}{L} \int_{L} y \, ds, \]

где \(ds\) — это элемент длины дуги, который выражается через производные:

\[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx. \]

Шаг 3: Определение длины \(L\).

Чтобы рассчитать длину дуги \(L\), используем формулу длины дуги для параметрической кривой. Уравнение астроиды может быть параметризовано с использованием параметра \(\theta\):

\[ x = a \cos^3 \theta, \quad y = a \sin^3 \theta, \]

где \(\theta\) изменяется от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\).

Теперь можем найти элемент дуги:

\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta. \]

Дифференцируем \(x\) и \(y\) по \(\theta\):

\[ \frac{dx}{d\theta} = -3a\cos^2\theta \cdot \sin\theta, \]

\[ \frac{dy}{d\theta} = 3a\sin^2\theta \cdot \cos\theta. \]

Тогда элемент дуги:

\[ ds = \sqrt{9a^2 \cos^4\theta \sin^2\theta + 9a^2 \sin^4\theta \cos^2\theta} d\theta = 3a \cos\theta \sin\theta d\theta. \]

Теперь находим длину кривой:

\[ L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3a \cos\theta \sin\theta d\theta = 3a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta d\theta. \]

Используем стандартный интеграл:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta d\theta = \frac{1}{2}. \]

Тогда:

\[ L = 3a \times \frac{1}{2} = \frac{3a}{2}. \]

Шаг 4: Вычисление координат центра тяжести.

Для нахождения координат центра тяжести используем те же параметры. Например, координата \(x_c\):

\[ x_c = \frac{1}{L} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x ds = \frac{1}{L} \int_0^{\frac{\pi}{2}} a \cos^3\theta \cdot 3a \cos\theta \sin\theta d\theta. \]

Упростим:

\[ x_c = \frac{3a^2}{L} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \sin\theta d\theta. \]

Аналогично находим и \(y_c\).

Окончательный результат:

Подставляя все найденные значения в исходные формулы, можно найти координаты центра тяжести однородной кривой в первой четверти.