Найти без нахождения координат точки D

Это задача из раздела аналитической геометрии на координатной плоскости (школьный предмет — геометрия). Задача связана с параллелограммом.

Даны точки:

• \( A(-3, 2) \)
• \( B(2, 3) \)
• \( C(-1, 2) \)

Нужно найти следующее, без нахождения координат точки \( D \):

1. Уравнение стороны \( AD \);
2. Уравнение высоты \( BK \), опущенной из вершины \( B \) на сторону \( AD \);
3. Длину высоты \( BK \);
4. Тангенс угла между \( BK \) и \( AB \).

Рассмотрим каждый пункт.

1. Уравнение стороны \( AD \)

Из условия задачи известно, что фигура — параллелограмм. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, векторы \( AB \) и \( CD \) равны. Это значит, что векторы \( AD \) и \( BC \) тоже параллельны.

Вектор \( BC \) можно найти как разность координат точки \( C \) и точки \( B \):

\[\overrightarrow{BC} = \left( C_x - B_x, C_y - B_y \right) = (-1 - 2, 2 - 3) = (-3, -1)\]

Из этого следует, что вектор \( AD \) также равен \( (-3, -1) \).

Теперь уравнение прямой \( AD \). Прямая задается уравнением вида:

\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

где точка \( A(x_1, y_1) = (-3, 2) \), а \( k \) — угловой коэффициент.

Угловой коэффициент для вектора \( (-3, -1) \) определяется как отношение изменения \( y \) к изменению \( x \), т.е.

\[ k = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \]

Подставим это в уравнение прямой:

\[ y - 2 = \frac{1}{3}(x + 3) \]

Раскроем скобки и приведем выражение к стандартной форме:

\[ y - 2 = \frac{1}{3}x + 1 \]

\[ y = \frac{1}{3}x + 3 \]

Уравнение стороны \( AD \):

\[ y = \frac{1}{3}x + 3 \]

2. Уравнение высоты \( BK \), опущенной из вершины \( B \) на сторону \( AD \)

Высота — это прямая, перпендикулярная стороне \( AD \). Угловой коэффициент прямой \( BK \) будет обратным и противоположным угловому коэффициенту прямой \( AD \).

Для уравнения \( AD \) угловой коэффициент равен \( \frac{1}{3} \). При перпендикулярности прямая \( BK \) будет иметь угловой коэффициент:

\[ k_{BK} = -\frac{1}{\frac{1}{3}} = -3 \]

Теперь составим уравнение прямой \( BK \) через точку \( B(2, 3) \) и найденный угловой коэффициент \( k_{BK} = -3 \).

\[ y - 3 = -3(x - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 3 = -3x + 6 \]

\[ y = -3x + 9 \]

Уравнение высоты \( BK \):

\[ y = -3x + 9 \]

3. Длина высоты \( BK \)

Длина высоты — это расстояние от точки \( B(2, 3) \) до прямой \( AD \), уравнение которой мы нашли: \( y = \frac{1}{3}x + 3 \).

Расстояние от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) вычисляется по формуле:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Приведем уравнение \( AD \) к виду \( Ax + By + C = 0 \). Запишем:

\[ y = \frac{1}{3}x + 3 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3}x - y + 3 = 0 \]

Здесь \( A = \frac{1}{3}, B = -1, C = 3 \). Подставляем координаты точки \( B(2, 3) \):

\[ d = \frac{\left|\frac{1}{3} \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 3 \right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|\frac{2}{3} - 3 + 3 \right|}{\sqrt{\frac{1}{9} + 1}} = \frac{\left|\frac{2}{3}\right|}{\sqrt{\frac{10}{9}}} \]

\[ d = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} \]

Длина высоты \( BK \):

\[ d = \frac{\sqrt{10}}{5} \]

4. Тангенс угла между \( BK \) и \( AB \)

Для нахождения угла между двумя прямыми используется формула:

\[ \tan \varphi = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right| \]

Где \( k_1 \) — угловой коэффициент прямой \( BK \) (\(-3\)), а \( k_2 \) — угловой коэффициент прямой \( AB \).

Найдем \( k_2 \), зная координаты точек \( A(-3, 2) \) и \( B(2, 3) \):

\[ k_{AB} = \frac{3 - 2}{2 + 3} = \frac{1}{5} \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \tan \varphi = \left|\frac{-3 - \frac{1}{5}}{1 + \left(-3 \cdot \frac{1}{5}\right)}\right| = \left|\frac{-\frac{16}{5}}{1 - \frac{3}{5}}\right| = \left|\frac{-\frac{16}{5}}{\frac{2}{5}}\right| = \left|-8\right| = 8 \]

Тангенс угла между \( BK \) и \( AB \):

Ответы:

1. Уравнение стороны \( AD \):\) \( y = \frac{1}{3}x + 3 \).
2. Уравнение высоты \( BK \):\) \( y = -3x + 9 \).
3. Длина высоты \( BK \):\) \( \frac{\sqrt{10}}{5} \).
4. Тангенс угла между \( BK \) и \( AB \): 8.

\[ \tan \varphi = 8 \]