Найти: а) длину стороны AB; б) уравнения сторон ABи AC; в) уравнение медианы AE

Определим предмет и раздел:

Предмет – геометрия. Раздел – аналитическая геометрия на плоскости (координаты и уравнения прямых).

Нам дан треугольник с вершинами \( A(4; 1) \), \( B(16; -8) \), \( C(14; 6) \).

Требуется найти следующие величины:

1. Длину стороны \( AB \).
2. Уравнения сторон \( AB \) и \( AC \).
3. Уравнение медианы \( AE \) (где точка \( E \) — середина стороны \( BC \)).

а) Длина стороны \( AB \)

Для нахождения длины отрезка \( AB \) в координатной плоскости используется формула расстояния между двумя точками. Формула для расстояния между точками \( A(x₁, y₁) \) и \( B(x₂, y₂) \):

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставим координаты точек \( A(4, 1) \) и \( B(16, -8) \):

\[ AB = \sqrt{(16 - 4)^2 + (-8 - 1)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \]

Ответ: Длина стороны \( AB = 15 \).

б) Уравнения сторон \( AB \) и \( AC \)

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

где \( k \) — угловой коэффициент (наклон прямой), который находится как:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Уравнение прямой \( AB \)

Для нахождения уравнения \( AB \), используем точки \( A(4; 1) \) и \( B(16; -8) \).

1. Найдём угловой коэффициент \( k \):

\[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-8 - 1}{16 - 4} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4} \]

2. Теперь подставим известные значения \( k = -\frac{3}{4} \), \( A(4; 1) \) в уравнение прямой:

\[ y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 4) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 1 = -\frac{3}{4}x + 3 \]

Приведём уравнение к стандартному виду:

\[ y = -\frac{3}{4}x + 3 + 1 \]

\[ y = -\frac{3}{4}x + 4 \]

Ответ: Уравнение стороны \( AB \): \( y = -\frac{3}{4}x + 4 \).

Уравнение прямой \( AC \)

Для нахождения уравнения \( AC \), используем точки \( A(4; 1) \) и \( C(14; 6) \).

1. Найдём угловой коэффициент \( k \):

\[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{6 - 1}{14 - 4} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

2. Теперь подставим известные значения \( k = \frac{1}{2} \), \( A(4; 1) \) в уравнение прямой:

\[ y - 1 = \frac{1}{2}(x - 4) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 1 = \frac{1}{2}x - 2 \]

Приведём уравнение к стандартному виду:

\[ y = \frac{1}{2}x - 2 + 1 \]

\[ y = \frac{1}{2}x - 1 \]

Ответ: Уравнение стороны \( AC \): \( y = \frac{1}{2}x - 1 \).

в) Уравнение медианы \( AE \)

Точка медианы \( E \) на стороне \( BC \) — это её середина. Найдём координаты точки \( E \).

Координаты середины отрезка \( BC \) находятся по формулам:

\[ x_E = \frac{x_B + x_C}{2}, \quad y_E = \frac{y_B + y_C}{2} \]

Подставим значения координат \( B(16, -8) \) и \( C(14, 6) \):

\[ x_E = \frac{16 + 14}{2} = \frac{30}{2} = 15, \quad y_E = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Итак, координаты точки \( E(15, -1) \).

Теперь найдём уравнение медианы \( AE \) через точки \( A(4, 1) \) и \( E(15, -1) \).

1. Найдём угловой коэффициент медианы \( AE \):

\[ k_{AE} = \frac{y_E - y_A}{x_E - x_A} = \frac{-1 - 1}{15 - 4} = \frac{-2}{11} \]

2. Теперь подставим \( k = -\frac{2}{11} \), \( A(4, 1) \) в уравнение прямой:

\[ y - 1 = -\frac{2}{11}(x - 4) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 1 = -\frac{2}{11}x + \frac{8}{11} \]

Приведём уравнение к стандартному виду:

\[ y = -\frac{2}{11}x + \frac{8}{11} + 1 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ y = -\frac{2}{11}x + \frac{8}{11} + \frac{11}{11} \]

\[ y = -\frac{2}{11}x + \frac{19}{11} \]

Итоги:

• Длина стороны \( AB = 15 \).
• Уравнение стороны \( AB \): \( y = -\frac{3}{4}x + 4 \).
• Уравнение стороны \( AC \): \( y = \frac{1}{2}x - 1 \).
• Уравнение медианы \( AE \): \( y = -\frac{2}{11}x + \frac{19}{11} \).

Ответ: Уравнение медианы \( AE \): \( y = -\frac{2}{11}x + \frac{19}{11} \).