Найти: а) длину стороны AB; б) уравнения сторон ABи AC; в) уравнение медианы AE

Определим предмет и раздел:

Предмет – геометрия. Раздел – аналитическая геометрия на плоскости (координаты и уравнения прямых).

Нам дан треугольник с вершинами $\text{(}A(4;1)\text{)}$, $\text{(}B(16;-8)\text{)}$, $\text{(}C(14;6)\text{)}$.

Требуется найти следующие величины:

1. Длину стороны $\text{(}AB\text{)}$.
2. Уравнения сторон $\text{(}AB\text{)}$ и $\text{(}AC\text{)}$.
3. Уравнение медианы $\text{(}AE\text{)}$ (где точка $\text{(}E\text{)}$ — середина стороны $\text{(}BC\text{)}$).

а) Длина стороны $\text{(}AB\text{)}$

Для нахождения длины отрезка $\text{(}AB\text{)}$ в координатной плоскости используется формула расстояния между двумя точками. Формула для расстояния между точками $\text{(}A(x₁,y₁)\text{)}$ и $\text{(}B(x₂,y₂)\text{)}$:

$\text{[}AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}\text{]}$

Подставим координаты точек $\text{(}A(4,1)\text{)}$ и $\text{(}B(16,-8)\text{)}$:

$\text{[}AB=\sqrt{(16-4{)}^2+(-8-1{)}^2}=\sqrt{(12{)}^2+(-9{)}^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{]}$

Ответ: Длина стороны $\text{(}AB=15\text{)}$.

б) Уравнения сторон $\text{(}AB\text{)}$ и $\text{(}AC\text{)}$

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

$\text{[}y-y_1=k(x-x_1)\text{]}$

где $\text{(}k\text{)}$ — угловой коэффициент (наклон прямой), который находится как:

$\text{[}k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\text{]}$

Уравнение прямой $\text{(}AB\text{)}$

Для нахождения уравнения $\text{(}AB\text{)}$, используем точки $\text{(}A(4;1)\text{)}$ и $\text{(}B(16;-8)\text{)}$.

1. Найдём угловой коэффициент $\text{(}k\text{)}$:

$\text{[}{k}_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-8-1}{16-4}=\frac{-9}{12}=-\frac{3}{4}\text{]}$

2. Теперь подставим известные значения $\text{(}k=-\frac{3}{4}\text{)}$, $\text{(}A(4;1)\text{)}$ в уравнение прямой:

$\text{[}y-1=-\frac{3}{4}(x-4)\text{]}$

Раскроем скобки:

$\text{[}y-1=-\frac{3}{4}x+3\text{]}$

Приведём уравнение к стандартному виду:

$\text{[}y=-\frac{3}{4}x+3+1\text{]}$

$\text{[}y=-\frac{3}{4}x+4\text{]}$

Ответ: Уравнение стороны $\text{(}AB\text{)}$: $\text{(}y=-\frac{3}{4}x+4\text{)}$.

Уравнение прямой $\text{(}AC\text{)}$

Для нахождения уравнения $\text{(}AC\text{)}$, используем точки $\text{(}A(4;1)\text{)}$ и $\text{(}C(14;6)\text{)}$.

1. Найдём угловой коэффициент $\text{(}k\text{)}$:

$\text{[}{k}_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{6-1}{14-4}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{]}$

2. Теперь подставим известные значения $\text{(}k=\frac{1}{2}\text{)}$, $\text{(}A(4;1)\text{)}$ в уравнение прямой:

$\text{[}y-1=\frac{1}{2}(x-4)\text{]}$

Раскроем скобки:

$\text{[}y-1=\frac{1}{2}x-2\text{]}$

Приведём уравнение к стандартному виду:

$\text{[}y=\frac{1}{2}x-2+1\text{]}$

$\text{[}y=\frac{1}{2}x-1\text{]}$

Ответ: Уравнение стороны $\text{(}AC\text{)}$: $\text{(}y=\frac{1}{2}x-1\text{)}$.

в) Уравнение медианы $\text{(}AE\text{)}$

Точка медианы $\text{(}E\text{)}$ на стороне $\text{(}BC\text{)}$ — это её середина. Найдём координаты точки $\text{(}E\text{)}$.

Координаты середины отрезка $\text{(}BC\text{)}$ находятся по формулам:

$\text{[}{x}_E=\frac{x_B+x_C}{2},y_E=\frac{y_B+y_C}{2}\text{]}$

Подставим значения координат $\text{(}B(16,-8)\text{)}$ и $\text{(}C(14,6)\text{)}$:

$\text{[}{x}_E=\frac{16+14}{2}=\frac{30}{2}=15,y_E=\frac{-8+6}{2}=\frac{-2}{2}=-1\text{]}$

Итак, координаты точки $\text{(}E(15,-1)\text{)}$.

Теперь найдём уравнение медианы $\text{(}AE\text{)}$ через точки $\text{(}A(4,1)\text{)}$ и $\text{(}E(15,-1)\text{)}$.

1. Найдём угловой коэффициент медианы $\text{(}AE\text{)}$:

$\text{[}{k}_{AE}=\frac{y_E-y_A}{x_E-x_A}=\frac{-1-1}{15-4}=\frac{-2}{11}\text{]}$

2. Теперь подставим $\text{(}k=-\frac{2}{11}\text{)}$, $\text{(}A(4,1)\text{)}$ в уравнение прямой:

$\text{[}y-1=-\frac{2}{11}(x-4)\text{]}$

Раскроем скобки:

$\text{[}y-1=-\frac{2}{11}x+\frac{8}{11}\text{]}$

Приведём уравнение к стандартному виду:

$\text{[}y=-\frac{2}{11}x+\frac{8}{11}+1\text{]}$

Приведем к общему знаменателю:

$\text{[}y=-\frac{2}{11}x+\frac{8}{11}+\frac{11}{11}\text{]}$

$\text{[}y=-\frac{2}{11}x+\frac{19}{11}\text{]}$

Итоги:

• Длина стороны $\text{(}AB=15\text{)}$.
• Уравнение стороны $\text{(}AB\text{)}$: $\text{(}y=-\frac{3}{4}x+4\text{)}$.
• Уравнение стороны $\text{(}AC\text{)}$: $\text{(}y=\frac{1}{2}x-1\text{)}$.
• Уравнение медианы $\text{(}AE\text{)}$: $\text{(}y=-\frac{2}{11}x+\frac{19}{11}\text{)}$.

Ответ: Уравнение медианы $\text{(}AE\text{)}$: $\text{(}y=-\frac{2}{11}x+\frac{19}{11}\text{)}$.