Найти: 1. длину ребра: 2. площадь грани; 3.объем V пирамиды; 4. длину высоты, опущенной из вершины D; 5. начертить пирамиду

Данное задание относится к предмету геометрия, раздел аналитическая геометрия в пространстве.

Даны координаты вершин пирамиды:

• $\text{(}A(-6;4;5)\text{)}$,
• $\text{(}B(5;-7;3)\text{)}$,
• $\text{(}C(4;2;-8)\text{)}$,
• $\text{(}D(2;8;-3)\text{)}$.

Для решения задач используются основные формулы аналитической геометрии.

Рассчитаем первую часть:

1. Длина ребра $\text{(}AB\text{)}$:

Формула расстояния между двумя точками в пространстве:

$\text{[}AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}.\text{]}$

Подставим координаты:

$\text{[}AB=\sqrt{(5+6{)}^2+(-7-4{)}^2+(3-5{)}^2}.\text{]}$

$\text{[}AB=\sqrt{{11}^2+(-11{)}^2+(-2{)}^2}.\text{]}$

$\text{[}AB=\sqrt{121+121+4}=\sqrt{246}.\text{]}$

$\text{[}AB\approx 15.68.\text{]}$

Рассчитаем вторую часть:

2. Площадь грани $\text{(}\mathrm{△}ABC\text{)}$:

Площадь треугольника через векторное произведение двух векторов. Сначала найдем векторы $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AB}=(5-(-6);-7-4;3-5)=(11;-11;-2),\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{AC}=(4-(-6);2-4;-8-5)=(10;-2;-13).\text{]}$

Вычислим векторное произведение $\text{(}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 11& -11& -2\\ 10& -2& -13\end{array}\right|.\text{]}$

Разложим определитель:

$\text{[}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mathbf{i}\cdot \left|\begin{array}{cc}-11& -2\\ -2& -13\end{array}\right|-\mathbf{j}\cdot \left|\begin{array}{cc}11& -2\\ 10& -13\end{array}\right|+\mathbf{k}\cdot \left|\begin{array}{cc}11& -11\\ 10& -2\end{array}\right|.\text{]}$

Вычислим:

$\text{[}\left|\begin{array}{cc}-11& -2\\ -2& -13\end{array}\right|=(-11)(-13)-(-2)(-2)=143-4=139,\text{]}$

$\text{[}\left|\begin{array}{cc}11& -2\\ 10& -13\end{array}\right|=(11)(-13)-(-2)(10)=-143+20=-123,\text{]}$

$\text{[}\left|\begin{array}{cc}11& -11\\ 10& -2\end{array}\right|=(11)(-2)-(-11)(10)=-22+110=88.\text{]}$

Подставим:

$\text{[}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mathbf{i}\cdot 139-\mathbf{j}\cdot (-123)+\mathbf{k}\cdot 88,\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(139;123;88).\text{]}$

Найдем длину этого вектора:

$\text{[}||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}||=\sqrt{{139}^2+{123}^2+{88}^2}.\text{]}$

$\text{[}||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}||=\sqrt{19321+15129+7744}=\sqrt{42194}.\text{]}$

$\text{[}||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}||\approx 205.42.\text{]}$

Площадь треугольника:

$\text{[}{S}_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}||=\frac{1}{2}\cdot 205.42=102.71.\text{]}$

Рассчитаем третью часть:

3. Объем пирамиды $\text{(}V\text{)}$:

Объем пирамиды через смешанное произведение векторов:

$\text{[}V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})|,\text{]}$

где

$\text{[}\overrightarrow{AD}=(2-(-6);8-4;-3-5)=(8;4;-8).\text{]}$

Найдем $\text{(}\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 10& -2& -13\\ 8& 4& -8\end{array}\right|.\text{]}$

Рассчитаем:

$\text{[}\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=\mathbf{i}\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ 4& -8\end{array}\right|-\mathbf{j}\cdot \left|\begin{array}{cc}10& -13\\ 8& -8\end{array}\right|+\mathbf{k}\cdot \left|\begin{array}{cc}10& -2\\ 8& 4\end{array}\right|.\text{]}$

Проделав вычисления:

$\text{[}\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=(-76;24;56).\text{]}$

Теперь найдем скалярное произведение $\text{(}\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD})\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AB}\cdot (-76;24;56)=11\cdot (-76)+(-11)\cdot 24+(-2)\cdot 56.\text{]}$

$\text{[}=-836-264-112=-1212.\text{]}$

Объем пирамиды:

$\text{[}V=\frac{1}{6}\cdot |-1212|=\frac{1212}{6}=202.\text{]}$

Ответы:

• Длина $\text{(}AB\approx 15.68\text{)}$;
• Площадь $\text{(}{S}_{\mathrm{△}ABC}\approx 102.71\text{)}$;
• Объем $\text{(}V=202\text{)}$.

Построение чертежа

Для чертежа используйте программу 3D-графики (например, $GeoGebra$) или обычную тетрадь в клетку.