Найти: 1. длину ребра: 2. площадь грани; 3.объем V пирамиды; 4. длину высоты, опущенной из вершины D; 5. начертить пирамиду

Данное задание относится к предмету геометрия, раздел аналитическая геометрия в пространстве.

Даны координаты вершин пирамиды:

• \( A(-6; 4; 5) \),
• \( B(5; -7; 3) \),
• \( C(4; 2; -8) \),
• \( D(2; 8; -3) \).

Для решения задач используются основные формулы аналитической геометрии.

Рассчитаем первую часть:

1. Длина ребра \( AB \):

Формула расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}. \]

Подставим координаты:

\[ AB = \sqrt{(5 + 6)^2 + (-7 - 4)^2 + (3 - 5)^2}. \]

\[ AB = \sqrt{11^2 + (-11)^2 + (-2)^2}. \]

\[ AB = \sqrt{121 + 121 + 4} = \sqrt{246}. \]

\[ AB \approx 15.68. \]

Рассчитаем вторую часть:

2. Площадь грани \( \triangle ABC \):

Площадь треугольника через векторное произведение двух векторов. Сначала найдем векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{AB} = (5 - (-6); -7 - 4; 3 - 5) = (11; -11; -2), \]

\[ \overrightarrow{AC} = (4 - (-6); 2 - 4; -8 - 5) = (10; -2; -13). \]

Вычислим векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 11 & -11 & -2 \\ 10 & -2 & -13 \end{vmatrix}. \]

Разложим определитель:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} -11 & -2 \\ -2 & -13 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 10 & -13 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 11 & -11 \\ 10 & -2 \end{vmatrix}. \]

Вычислим:

\[ \begin{vmatrix} -11 & -2 \\ -2 & -13 \end{vmatrix} = (-11)(-13) - (-2)(-2) = 143 - 4 = 139, \]

\[ \begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 10 & -13 \end{vmatrix} = (11)(-13) - (-2)(10) = -143 + 20 = -123, \]

\[ \begin{vmatrix} 11 & -11 \\ 10 & -2 \end{vmatrix} = (11)(-2) - (-11)(10) = -22 + 110 = 88. \]

Подставим:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \cdot 139 - \mathbf{j} \cdot (-123) + \mathbf{k} \cdot 88, \]

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (139; 123; 88). \]

Найдем длину этого вектора:

\[ ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|| = \sqrt{139^2 + 123^2 + 88^2}. \]

\[ ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|| = \sqrt{19321 + 15129 + 7744} = \sqrt{42194}. \]

\[ ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|| \approx 205.42. \]

Площадь треугольника:

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|| = \frac{1}{2} \cdot 205.42 = 102.71. \]

Рассчитаем третью часть:

3. Объем пирамиды \( V \):

Объем пирамиды через смешанное произведение векторов:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \right|, \]

где

\[ \overrightarrow{AD} = (2 - (-6); 8 - 4; -3 - 5) = (8; 4; -8). \]

Найдем \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \):

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & -2 & -13 \\ 8 & 4 & -8 \end{vmatrix}. \]

Рассчитаем:

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} -2 & -13 \\ 4 & -8 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 10 & -13 \\ 8 & -8 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 10 & -2 \\ 8 & 4 \end{vmatrix}. \]

Проделав вычисления:

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = (-76; 24; 56). \]

Теперь найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot (-76; 24; 56) = 11 \cdot (-76) + (-11) \cdot 24 + (-2) \cdot 56. \]

\[ = -836 - 264 - 112 = -1212. \]

Объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{6} \cdot | -1212 | = \frac{1212}{6} = 202. \]

Ответы:

• Длина \( AB \approx 15.68 \);
• Площадь \( S_{\triangle ABC} \approx 102.71 \);
• Объем \( V = 202 \).

Построение чертежа

Для чертежа используйте программу 3D-графики (например, GeoGebra) или обычную тетрадь в клетку.