Найдите вершины треугольника,если его стороны заданы уравнениями

Задание

Относится к предмету "Геометрия" и разделу "Аналитическая геометрия", так как необходимо найти вершины треугольника, заданного уравнениями прямых.

Дано три уравнения сторон треугольника:

1. \( 4x + 3y + 20 = 0 \)
2. \( 6x - 7y - 16 = 0 \)
3. \( x - 5y + 5 = 0 \)

Чтобы найти вершины треугольника, нужно вычислить точки пересечения этих прямых, так как вершины треугольника — это как раз точки пересечений пар прямых.

1. Найдем точку пересечения первой и второй прямых:

У нас есть следующие уравнения:

1. \( 4x + 3y + 20 = 0 \)
2. \( 6x - 7y - 16 = 0 \)

Для удобства выражаем \( y \) через \( x \) из одного из уравнений. Возьмем первое уравнение:

\[ 4x + 3y + 20 = 0 \]

\[ 3y = -4x - 20 \]

\[ y = \frac{-4x - 20}{3} \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:

\[ 6x - 7y - 16 = 0 \]

\[ 6x - 7\left(\frac{-4x - 20}{3}\right) - 16 = 0 \]

Умножим всё на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 3 \cdot (6x) - 7(-4x - 20) = 3 \cdot 16 \]

Раскрываем скобки:

\[ 18x + 28x + 140 = 48 \]

Теперь соберём все переменные и числа в одну сторону:

\[ 46x = 48 - 140 \]

\[ 46x = -92 \]

\[ x = \frac{-92}{46} = -2 \]

Теперь найдём \( y \), подставив значение \( x = -2 \) в уравнение \( y = \frac{-4x - 20}{3} \):

\[ y = \frac{-4(-2) - 20}{3} = \frac{8 - 20}{3} = \frac{-12}{3} = -4 \]

Итак, первая точка пересечения (вершина треугольника) имеет координаты \( (-2, -4) \).

2. Найдем точку пересечения первых двух уравнений с третьим (вторую вершину):

Теперь возьмем первое уравнение \( 4x + 3y + 20 = 0 \) и третье уравнение \( x - 5y + 5 = 0 \).

Из второго уравнения выразим \( x \) через \( y \):

\[ x - 5y + 5 = 0 \]

\[ x = 5y - 5 \]

Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\[ 4(5y - 5) + 3y + 20 = 0 \]

Раскрываем скобки:

\[ 20y - 20 + 3y + 20 = 0 \]

Собираем подобные:

\[ 23y = 0 \]

\[ y = 0 \]

Теперь, чтобы найти \( x \), подставим \( y = 0 \) в уравнение \( x = 5y - 5 \):

\[ x = 5(0) - 5 = -5 \]

Итак, вторая точка пересечения (вершина треугольника) имеет координаты \( (-5, 0) \).

3. Найдем третью вершину треугольника — точку пересечения второй и третьей прямых:

Теперь возьмем уравнения:

1. \( 6x - 7y - 16 = 0 \)
2. \( x - 5y + 5 = 0 \)

Из второго уравнения мы уже выразили \( x \) через \( y \):

\[ x = 5y - 5 \]

Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\[ 6(5y - 5) - 7y - 16 = 0 \]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[ 30y - 30 - 7y - 16 = 0 \]

\[ 23y = 46 \]

\[ y = \frac{46}{23} = 2 \]

Теперь подставляем это значение \( y = 2 \) в уравнение \( x = 5y - 5 \):

\[ x = 5(2) - 5 = 10 - 5 = 5 \]

Итак, третья точка пересечения (вершина треугольника) имеет координаты \( (5, 2) \).

Ответ:

Вершины треугольника имеют координаты:

1. (-2, -4)
2. (-5, 0)
3. (5, 2)

Это и есть три вершины треугольника, заданные уравнениями прямых.