Найдите уравнение плоскости, проходящей через три точки \( A(1, 2, 3) \), \( B(4, 0, -1) \) и \( C(2, -1, 5) \).

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки \( A(1, 2, 3) \), \( B(4, 0, -1) \) и \( C(2, -1, 5) \), необходимо следовать нескольким шагам:

1. Вычислим векторы, лежащие в плоскости: Из координат точек \( A \), \( B \) и \( C \) можно получить два вектора: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4-1, 0-2, -1-3) = (3, -2, -4) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, -1-2, 5-3) = (1, -3, 2) \]
2. Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) для получения нормального вектора (нормали) к плоскости: Векторное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} = (3, -2, -4) \) и \( \overrightarrow{AC} = (1, -3, 2) \) находим по формуле детерминанта матрицы: \[ \overrightarrow{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & -4 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \] \[ \overrightarrow{N} = \mathbf{i}((-2) \cdot 2 - (-4) \cdot (-3)) - \mathbf{j}((3) \cdot 2 - (-4) \cdot 1) + \mathbf{k}((3) \cdot (-3) - (-2) \cdot 1) \] \[ \overrightarrow{N} = \mathbf{i}(-4 - 12) - \mathbf{j}(6 + 4) + \mathbf{k}(-9 + 2) \] \[ \overrightarrow{N} = \mathbf{i}(-16) - \mathbf{j}(10) + \mathbf{k}(-7) \] \[ \overrightarrow{N} = (-16, -10, -7) \] Нормальный вектор к плоскости \( \overrightarrow{N} = (-16, -10, -7) \).
3. Запишем уравнение плоскости в виде \( Ax + By + Cz + D = 0 \): Сначала используем нормальный вектор \( (-16, -10, -7) \) и точку \( A(1, 2, 3) \) для нахождения \( D \). Уравнение плоскости будет выглядеть так: \[ -16x - 10y - 7z + D = 0 \] Подставим координаты точки \( A(1, 2, 3) \): \[ -16 \cdot 1 - 10 \cdot 2 - 7 \cdot 3 + D = 0 \] \[ -16 - 20 - 21 + D = 0 \] \[ -57 + D = 0 \] \[ D = 57 \] Таким образом, окончательное уравнение плоскости: \[ -16x - 10y - 7z + 57 = 0 \] Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точки \( A(1, 2, 3) \), \( B(4, 0, -1) \) и \( C(2, -1, 5) \), имеет вид: \[ -16x - 10y - 7z + 57 = 0 \]