Найдите площадь осевого сечения конуса

Данное задание связано с геометрией, конкретно разделом, изучающим геометрические тела — конус.

1. Определим лучшее представление о задаче:

Информация из задания:

• Площадь основания конуса \( S_{\text{основания}} = 16\pi \)
• Высота конуса \( h = 6 \)

Что нужно найти:

Площадь осевого сечения конуса.

2. Начнем с определения понятий:

• Осевое сечение конуса — это сечение, которое проходит через вершину конуса и через его ось симметрии. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник.
• Площадь основания конуса — круг с радиусом \( R \). Площадь круга выражается формулой: \[ S_{\text{основания}} = \pi R^2 \]

Из этого можем выразить радиус \( R \): \[ \pi R^2 = 16\pi \]

Сократим на \( \pi \): \[ R^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad R = 4 \]

То есть радиус основания конуса \( R = 4 \).

3. Найдем длину образующей (ребро конуса):

Образующая \( l \) — это расстояние от вершины конуса до любой точки на окружности основания. Мы можем её найти, используя теорему Пифагора, где:

• \( R = 4 \) — радиус основания;
• \( h = 6 \) — высота конуса.

Из треугольника (где образующая \( l \) является гипотенузой): \[ l^2 = R^2 + h^2 \]

Подставляем значения радиуса и высоты: \[ l^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 \]

Следовательно: \[ l = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

4. Найдем площадь осевого сечения:

Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, у которого:

• Основание этого треугольника равно удвоенному радиусу основания конуса (потому что мы пересекаем диаметр основания), то есть \( 2R = 2 \times 4 = 8 \).
• Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса \( h = 6 \).

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

Подставляем значения: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \]

Ответ:

Площадь осевого сечения конуса равна \(\ 24\).