Найдите площадь клумбы(четырёхугольника), вершины которого имеют координаты(10;0), (12;10),(2;12), (0;2)

Предмет: геометрия

Раздел: аналитическая геометрия (площадь фигуры, заданной координатами вершин)

Задание: найти площадь четырёхугольника, вершины которого имеют следующие координаты: (10;0), (12;10), (2;12), (0;2).

Нам нужно найти площадь четырёхугольника с вершинами, координаты которых заданы в декартовой системе координат. Для таких задач можно использовать формулу для площади многоугольника, построенного по координатам его вершин (формула Гаусса):

Формула для площади многоугольника по координатам вершин:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_n y_1 - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + \dots + y_n x_1) \right| \]

Где \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\) — это координаты вершин многоугольника, взятые по порядку.

1. Определим координаты вершин четырёхугольника:

Вершины нам даны в порядке: \( (10, 0), (12, 10), (2, 12), (0, 2) \). Таким образом:

• \( (x_1, y_1) = (10, 0) \)
• \( (x_2, y_2) = (12, 10) \)
• \( (x_3, y_3) = (2, 12) \)
• \( (x_4, y_4) = (0, 2) \)

2. Подставим координаты в формулу.

Теперь подставим эти координаты в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \left| 10 \cdot 10 + 12 \cdot 12 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 - \left( 0 \cdot 12 + 10 \cdot 2 + 12 \cdot 0 + 2 \cdot 10 \right) \right| \]

3. Выполним вычисления:

Считаем каждый член в обеих скобках:

\[ S = \frac{1}{2} \left| 100 + 144 + 4 + 0 - (0 + 20 + 0 + 20) \right| \]
\[ S = \frac{1}{2} \left| 248 - 40 \right| \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 208 = 104 \]

4. Ответ:

\[ \text{Площадь четырёхугольника} = 104 \, \text{квадратных единиц}. \]

Для наглядности можно построить чертёж.

Построим фигуру в декартовой системе координат:

1. Первая точка — \((10; 0)\);
2. Вторая точка — \((12; 10)\);
3. Третья точка — \((2; 12)\);
4. Четвёртая точка — \((0; 2)\).

На чертеже будет виден четырёхугольник, который можно разделить на несколько треугольников для проверки площади, но расчет через формулу уже дал точный результат \( 104 \, \text{кв. ед.} \).