Найдите объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление

Мы рассмотрим задачу, связанную с нахождением объёма тела, заданного двумя поверхностями. В таких задачах мы будем искать интеграл по области, заключённой между двумя поверхностями.

Входные данные:

1. Верхняя поверхность: \( z_1 = 2 - 20((x+1)^2 + y^2) \)
2. Нижняя поверхность: \( z_2 = -40 - 38x \)

Нужно найти объём тела, заключённого между поверхностями \( z_1 \) и \( z_2 \).

Шаг 1: Анализ поверхностей

Чтобы лучше понять задачу, начнем с анализа этих поверхностей:

1. Верхняя поверхность \( z_1 = 2 - 20((x+1)^2 + y^2) \) — это параболоид.
   • Минимум этой поверхности достигается в точке \( (x, y) = (-1, 0) \), где \( z_1 = 2 \).
   • Чем дальше мы отходим от точки \( (-1, 0) \), тем сильнее убывает функция, так как квадраты \( (x+1)^2 \) и \( y^2 \) возрастают.
2. Нижняя поверхность \( z_2 = -40 - 38x \) — это наклонная плоскость.
   • Она имеет постоянный наклон по оси \( x \) (зависит только от \( x \)), и не зависит от \( y \).

Шаг 2: Постановка задачи нахождения объёма

Объём тела между двумя поверхностями можно найти как: \[ V = \int\int_{D} (z_1 - z_2)\, dx\, dy \] Где \( D \) — это проекция области на плоскость \( xy \), где две поверхности пересекаются. Таким образом, нам сначала нужно найти границу этой области.

Шаг 3: Поиск границ области D

Для нахождения границ проекции области, найдём линию пересечения двух поверхностей. Для этого приравняем \( z_1 \) и \( z_2 \): \[ 2 - 20((x+1)^2 + y^2) = -40 - 38x \] Перенесем все в одну сторону: \[ 2 - (-40 - 38x) = 20((x+1)^2 + y^2) \] \[ 42 + 38x = 20((x+1)^2 + y^2) \] Теперь решим это уравнение. Сначала упростим его. \[ ((x+1)^2 + y^2) = \frac{42 + 38x}{20} \] \[ ((x+1)^2 + y^2) = 2.1 + 1.9x \] Мы получили уравнение окружности с радиусом, зависящим от \( x \). Однако лучше перейти к полярным координатам, чтобы упростить вычисление объема.

Шаг 4: Перехо...