Найдите координаты точки P

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Симметрия точки относительно прямой в пространстве

Дано:

Точка ( M_0(-57,4,-1) )
Прямая задана параметрически:
\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+1}{4}

Решение:

1. Запишем параметрические уравнения прямой
   Пусть параметр прямой — ( t ), тогда:
    x = 1 + t, \quad y = 2 + 3t, \quad z = -1 + 4t 

2. Найдем проекцию точки ( M_0(-57,4,-1) ) на прямую
   Проекция точки ( M_0(x_0, y_0, z_0) ) на прямую находится из условия, что вектор ( M_0M' ) перпендикулярен направляющему вектору ( \mathbf{d} = (1,3,4) ).

   Вектор ( M_0M' ) имеет координаты:
    (1+t + 57, 2+3t - 4, -1+4t + 1)  или
    (t+58, 3t-2, 4t) 

   Условие перпендикулярности:
    (t+58) \cdot 1 + (3t-2) \cdot 3 + (4t) \cdot 4 = 0 

   Раскроем:
    t + 58 + 9t - 6 + 16t = 0 
    26t + 52 = 0 
    t = -2 

3. Найдем координаты проекции ( M' )
   Подставляем ( t = -2 ) в уравнения прямой:
    x' = 1 - 2 = -1, \quad y' = 2 + 3(-2) = -4, \quad z' = -1 + 4(-2) = -9 
   Получаем ( M'(-1,-4,-9) ).

4. Найдем симметричную точку ( P )
   Координаты симметричной точки вычисляются по формуле:
    P = 2M' - M_0 
    x_P = 2(-1) - (-57) = -2 + 57 = 55 
    y_P = 2(-4) - 4 = -8 - 4 = -12 
    z_P = 2(-9) - (-1) = -18 + 1 = -17 

Ответ:
55,-12,-17